已知a+b=c+d且不等于0,a^3+b^3=c^3+d^3,求证ab=cd

已知a+b=c+d且不等于0,a^3+b^3=c^3+d^3,求证ab=cd
已知a+b=c+d且不等于0,a^3+b^3=c^3+d^3,求证ab=cd

已知a+b=c+d且不等于0,a^3+b^3=c^3+d^3,求证ab=cd
把两端因式分解,得
(a+b)(a^2+b^2-ab)=(c+d)(c^2+d^2-cd)
因为已知a+b=c+d且不等于0,所以消去
再凑出平方项,得
(a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd
得证

a+b=c+d
平方得
(a+b)^2=(c+d)^2
a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cd (1)
a^3+b^3=c^3+d^3
(a+b)(a^2+b^2-ab)=(c+d)(c^2+d^2-cd)
(a^2+b^2-ab)=(c^2+d^2-cd)
将(1)代入得
ab=cd

a^3+b^3=c^3+d^3
(a+b)(a^2+b^2-ab)=(c+d)(c^2+d^2-cd)
a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd
(a+b)^2-2ab=(c+d)^2-2cd
ab=cd

解由a+b=c+d
两边去立方
则（a+b)^3=(c+d)^3
即a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=c^3+3c^2d+3cd^2+d^3
由a^3+b^3=c^3+d^3
则3a^2b+3ab^2=3c^2d+3cd^2
即a^2b+ab^2=c^2d+cd^2
即ab（a+b）=cd（c+d）
又由a+b=c+d≠0
即ab=cd