如图,在△ABC中,∠ACB=90°,作垂线CD⊥AB,AC‖EG,BG是∠CBA的角平分线,延长BG交AC于点F,再连接CE,求证:GF垂直平分CE!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 10:26:50
![如图,在△ABC中,∠ACB=90°,作垂线CD⊥AB,AC‖EG,BG是∠CBA的角平分线,延长BG交AC于点F,再连接CE,求证:GF垂直平分CE!](/uploads/image/z/10402454-38-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0ACB%3D90%C2%B0%2C%E4%BD%9C%E5%9E%82%E7%BA%BFCD%E2%8A%A5AB%2CAC%E2%80%96EG%2CBG%E6%98%AF%E2%88%A0CBA%E7%9A%84%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%2C%E5%BB%B6%E9%95%BFBG%E4%BA%A4AC%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2C%E5%86%8D%E8%BF%9E%E6%8E%A5CE%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AGF%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86CE%21)
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,作垂线CD⊥AB,AC‖EG,BG是∠CBA的角平分线,延长BG交AC于点F,再连接CE,求证:GF垂直平分CE!
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,作垂线CD⊥AB,AC‖EG,BG是∠CBA的角平分线,延长BG交AC于点F,再连接CE,求证:GF垂直平分CE!
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,作垂线CD⊥AB,AC‖EG,BG是∠CBA的角平分线,延长BG交AC于点F,再连接CE,求证:GF垂直平分CE!
当然垂直平分,
只要证明CGEF是菱形即可,因为CF//GE,只要证CG=GE即可,即证三角形BGE与三角形BGC全等,此两个三角形中有一公共边BG,角CBG=角GBE,再找一角即可,由BC垂直AC,CD垂直AB,角BCD=角A,因为GE//AC,所以角A=角GEB,所以角GEB=角BCD,两三角形全等,推出BE=BC,三角形BCF与三角形FBE中,公共边BF,角CBF=角FBE,BE=BC,所以三角形BCF与三角形FBE全等,所以EF垂直AB,所以EF//CD,因为CF//GE,CG=GE,推出CGEF为菱形,菱形对角线垂直平分,所以GF垂直平分CE.
我们要证明CFEG为菱形
因为BF平分角CBA,所以由角平分线定理FC/FA=BC/AB
由相似三角形易有BC/BA=BD/BC
又由BG平分角CBA,所以由角平分线定理BD/BC=DG/GC
GE//AC,DG/GC=DE/EA
根据以上四式有ED/EA=DG/GC=BD/BC=BC/AB=FC/FA,即DE/EA=FC/FA
所以EF//DC,又...
全部展开
我们要证明CFEG为菱形
因为BF平分角CBA,所以由角平分线定理FC/FA=BC/AB
由相似三角形易有BC/BA=BD/BC
又由BG平分角CBA,所以由角平分线定理BD/BC=DG/GC
GE//AC,DG/GC=DE/EA
根据以上四式有ED/EA=DG/GC=BD/BC=BC/AB=FC/FA,即DE/EA=FC/FA
所以EF//DC,又GE//AC,所以CFEG为平行四边形
又角BFC=90度-角CBF=90度-0.5角CBA
角CGF=角CBF+角BCD=角CBF+(90度-角CBA)=90度-0.5角CBA
所以角CGF=角CFG,即CG=CF
结合CFEG为平行四边形
由有一组邻边相等的平行四边形为菱形,CGEF为菱形
所以得证
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因为BF平分角CBA,所以由角平分线定理FC/FA=BC/AB
由相似三角形易有BC/BA=BD/BC
又由BG平分角CBA,所以由角平分线定理BD/BC=DG/GC
GE//AC,DG/GC=DE/EA
根据以上四式有ED/EA=DG/GC=BD/BC=BC/AB=FC/FA,即DE/EA=FC/FA
所以EF//DC,又GE//AC,所以CFEG为平行四...
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因为BF平分角CBA,所以由角平分线定理FC/FA=BC/AB
由相似三角形易有BC/BA=BD/BC
又由BG平分角CBA,所以由角平分线定理BD/BC=DG/GC
GE//AC,DG/GC=DE/EA
根据以上四式有ED/EA=DG/GC=BD/BC=BC/AB=FC/FA,即DE/EA=FC/FA
所以EF//DC,又GE//AC,所以CFEG为平行四边形
又角BFC=90度-角CBF=90度-0.5角CBA
角CGF=角CBF+角BCD=角CBF+(90度-角CBA)=90度-0.5角CBA
所以角CGF=角CFG,即CG=CF
结合CFEG为平行四边形
由有一组邻边相等的平行四边形为菱形,CGEF为菱
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