（k+1）²=k²+2k+1,改变公式的写法,得（k+1）²- k²=2k+1.对上面的等式,依次令k=1,2,3,……,n,得2²-1²=2×1+1,3²-2²=2×2+1,4²-3²=2×3+1,……记S1=1+2+3+··+n,S1就等于n（n+1）除

（k+1）²=k²+2k+1,改变公式的写法,得（k+1）²- k²=2k+1.对上面的等式,依次令k=1,2,3,……,n,得2²-1²=2×1+1,3²-2²=2×2+1,4²-3²=2×3+1,……记S1=1+2+3+··+n,S1就等于n（n+1）除
（k+1）²=k²+2k+1,改变公式的写法,得
（k+1）²- k²=2k+1.
对上面的等式,依次令k=1,2,3,……,n,得
2²-1²=2×1+1,
3²-2²=2×2+1,
4²-3²=2×3+1,
……
记S1=1+2+3+··+n,S1就等于n（n+1）除以二
如果记S2=1平方+2平方+3平方+····+n的平方那个,请构建一个等式,再求出S2
还有一题撒。
1*2分之一=1-二分之一，
2*3分之一=二分之一减三分之一.
n（n+1）分之1=n分之一-（n+1）分之一
两边分别相加，会得到什么结果？1*2分之一+2*3分之一+n（n+1）分之1的求和公式是什么
根据算式，在小于100的整数中，求出10个，使倒数之和=1

（k+1）²=k²+2k+1,改变公式的写法,得（k+1）²- k²=2k+1.对上面的等式,依次令k=1,2,3,……,n,得2²-1²=2×1+1,3²-2²=2×2+1,4²-3²=2×3+1,……记S1=1+2+3+··+n,S1就等于n（n+1）除
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证:（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
S2= 1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

n(n+1)(2n+1)/6

　　利用立方差公式,得
k^3-(k-1)^3=1*[k^2+(k-1)^2+k(k-1)]
=k^2+(k-1)^2+k^2-k
　　=2*k^2+(k-1)^2-k
对上面的等式，依次令k=1,2,3，……，n，得
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

全部展开

　　利用立方差公式,得
k^3-(k-1)^3=1*[k^2+(k-1)^2+k(k-1)]
=k^2+(k-1)^2+k^2-k
　　=2*k^2+(k-1)^2-k
对上面的等式，依次令k=1,2,3，……，n，得
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
得n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
即n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
于是n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
有3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
=n(n+1)(2n+1)/2
∴S2=1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

收起