如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD.求证：（1）AD是⊙O₁的切线,AC是⊙O₂的切线（2）CE=DF.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:30:14
如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD.求证：（1）AD是⊙O₁的切线,AC是⊙O₂的切线（2）CE=DF.
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如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD.求证：（1）AD是⊙O₁的切线,AC是⊙O₂的切线（2）CE=DF.
如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD.
求证：（1）AD是⊙O₁的切线,AC是⊙O₂的切线
（2）CE=DF
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如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD.求证：（1）AD是⊙O₁的切线,AC是⊙O₂的切线（2）CE=DF.
证明：连接AF、AE
（1）∵AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD
∴△ABC ∽ △DBA
∴ ∠BAD= ∠ACB=∠ABF
又∵ ∠ADF= ∠ADB
∴△ABD ∽ △FAD
∴∠ABD=∠DAF；AD^2=BD*DF
∴AD是⊙O₁的切线
同理可证：AC是⊙O₂的切线
（2）∵∠ABD=∠DAF,∠ABC=∠ABD
∴∠ABC=∠DAF
又∵ ∠FAC= ∠FBC,
∠ABC= ∠ABF+∠CBF
∠DAF= ∠CAD+∠CAF
∴∠FCA=∠ABF=∠CAD= ∠CFA
∴ AF=AC
又∵∠ACB=∠ABF,∠AEC= ∠ADF
∴△AFD ≌ △ACE
∴ CE=DF