设函数f(x)=1-e^(-x). (1)证明：当x>-1时,f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时,f(x)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:29:52
设函数f(x)=1-e^(-x). (1)证明：当x>-1时,f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时,f(x)
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设函数f(x)=1-e^(-x). (1)证明：当x>-1时,f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时,f(x)
设函数f(x)=1-e^(-x). (1)证明：当x>-1时,f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时,f(x)<=x/(ax+1),求a的范围.
第一问答案都看不懂.请问为什么等价于ex≥x+1呢?

设函数f(x)=1-e^(-x). (1)证明：当x>-1时,f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时,f(x)
（1）当x＞-1时,f（x）≥x/(x+1),1-1/e^x>=x/(x+1),(e^x-1)(1+x)>=xe^x,有e^x+xe^x-1-x>=xe^x
即当且仅当e^x≥1+x
令g（x）=e^x-x-1,则g'（x）=e^x-1
当x≥0时g'（x）≥0,g（x）在[0,+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0,g（x）在（-∞,0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值,因而当x∈R时,g（x）≥g（0）时,即ex≥1+x
所以当x＞-1时,f（x）≥xx+1
（2）由题意x≥0,此时f（x）≥0
当a＜0时,若x＞-1a,则xax+1＜0,f（x）≤xax+1不成立；
当a≥0时,令h（x）=axf（x）+f（x）-x,则
f（x）≤xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤12时,由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0,
h（x）在[0,+∞）是减函数,h（x）≤h（0）=0,即f（x）≤xax+1
（ii）当a＞12时,由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜2a-1a时,h'（x）＞0,所以h'（x）＞0,所以h（x）＞h（0）=0,即f（x）＞xax+1
综上,a的取值范围是[0,12]

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