已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+√((an)^2+1),令an=tanθn(0<θn<π/2),求证（1）数列{θn-π/2}是等比数列（2）a1+a2+…+an>(n-1)π/2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/26 18:39:19
已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+√((an)^2+1),令an=tanθn(0<θn<π/2),求证（1）数列{θn-π/2}是等比数列（2）a1+a2+…+an>(n-1)π/2
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已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+√((an)^2+1),令an=tanθn(0&lt;θn&lt;π/2),求证（1）数列{θn-π/2}是等比数列（2）a1+a2+…+an&gt;(n-1)π/2
已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+√((an)^2+1),令an=tanθn(0&lt;θn&lt;π/2),求证（1）数列{θn-π/2}是等比数列（2）a1+a2+…+an&gt;(n-1)π/2

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+√((an)^2+1),令an=tanθn(0&lt;θn&lt;π/2),求证（1）数列{θn-π/2}是等比数列（2）a1+a2+…+an&gt;(n-1)π/2
证明：
(1)
a(n+1)=an+√((an)^2+1)
a(n+1)=tan(θ(n+1))
an+√((an)^2+1)=tan(θn)+√(tan^2(θn)+1)=tan(θn)+1/(cos(θn))
=(sin(θn)+1)/(cos(θn))
=(sin(θn)+sin^2(θn/2)+cos^2(θn/2))/(cos(θn))
=(2*sin(θn/2)*cos(θn/2)+sin^2(θn/2)+cos^2(θn/2))/(cos^2(θn/2)-sin^2(θn/2))
=(sin(θn/2)+cos(θn/2))^2/((sin(θn/2)+cos(θn/2))(cos(θn/2)-sin(θn/2)))
=(sin(θn/2)+cos(θn/2))/(cos(θn/2)-sin(θn/2)))
=(tan(θn/2)+1)/(1-tan(θn/2))
=tan(θn/2+π/4)
即θ(n+1)=θn/2+π/4
θ(n+1)-π/2=(1/2)*(θn-π/2)
故{θn-π/2}是等比数列
得证
(2)
a1=tan(θ1)=1
0(n-1)*π/2
得证

根据“lg a1、lg a2、lg a4成等差数列”可以得到：
lga1*lga4=2*lga2
所以
a1*a4=a2*a2
a1*(a1+3*d)=(a1+d)*(a1+d)
所以
d=0或a1=d。
那么可以得到：
bn=1/[(a2)^n]=a1^(-n)或(2d)^(-n)。
显然有bn/b(n-1)=-a1或2d，...

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根据“lg a1、lg a2、lg a4成等差数列”可以得到：
lga1*lga4=2*lga2
所以
a1*a4=a2*a2
a1*(a1+3*d)=(a1+d)*(a1+d)
所以
d=0或a1=d。
那么可以得到：
bn=1/[(a2)^n]=a1^(-n)或(2d)^(-n)。
显然有bn/b(n-1)=-a1或2d，所以{bn}为等比数列。
而再根据“如果无穷等比数列{bn}各项的和S=1/3”，我们分别考虑：
1、bn=a1^(-n)
那么有d=0，
Sn=(1/a1)/(1-1/a1)=1/3，此时a1=1/4。
2、bn=(2d)^(-n)
那么有Sn=a1/(1-2d)=2d/(1-2d)=1/3,所以d=1/8
这样的证明明显错误,不合题目意思,连条件都没有看青"各项为不同正数的等差数列"d=0?"
还有据题意有：an=a1+(n-1)d,d＞0，a1＞0
lga1+lga4=2lga2
bn=a(2n)

收起

已知数列{an}满足a(n+1)=an+n,a1=1,则an= 已知数列{an}满足a(n+1)=an+lg2,a1=1,求an 已知数列{an}满足a1=1,3a(n+1)+an-7 已知数列an满足a1=1,a(n+1)=an/(3an+1) 求数列通项公式 已知数列an满足:a1=1,an-a(n-1)=n n大于等于2 求an 已知数列{an}满足a1=33,a(n+1)-an=2n,则an/n的最小值 已知数列{an}满足a1=33,a（n+1）-an=2n,求an/n的最小值 已知数列an满足a1=100,a(n+1)-an=2n,则(an)/n的最小值为 已知数列an满足a1=2,an=a(n-1)+2n,（n≥2）,求an 已知数列满足a1=1,an-a(n-1)=n-1,求其通项 已知数列｛an｝满足a1=1,a（n+1）=nan n+1是角标 已知数列{an}满足a1=2,a(n+1)-an=a(n+1）*an,则a31=? 已知数列{a}满足a1=1/2,a（n+1）=an+1/(n^2+n),求an已知数列{a}满足a1=1/2,a（n+1）=an+1/(n^2+n),求an 已知数列｛an｝满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an=? 已知数列{an}满足a1=5,a(n+1)=an+6n+6,则an= 已知数列an满足a(n+1)=an+3n+2,且a1=2,求an 已知数列{an}满足条件a1=3,且a( n+1)-an=(20)^n+n,求通项公式已知数列{an}满足条件a1=3,且a( n+1)-an=(2)^n+n,求通项公式 已知数列an满足a1=1,a(n+1)=an/(3an+2),则an=?