设abc为有理数 且a+b+c=0 a的3次方+b的3次方+c的3次方=0求证 对于任何正奇数,都有a的n次方+b的n次方+c的n次方=0

设abc为有理数 且a+b+c=0 a的3次方+b的3次方+c的3次方=0求证 对于任何正奇数,都有a的n次方+b的n次方+c的n次方=0
设abc为有理数 且a+b+c=0 a的3次方+b的3次方+c的3次方=0
求证 对于任何正奇数,都有a的n次方+b的n次方+c的n次方=0

设abc为有理数 且a+b+c=0 a的3次方+b的3次方+c的3次方=0求证 对于任何正奇数,都有a的n次方+b的n次方+c的n次方=0
a+b=-c
(a+b)^3=-c^3
a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=-c^3
a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2=0
3a^2b+3ab^2=0
ab(a+b)=0
得ab=0 或a+b=0
(1)a+b=0 则c=0 结论得证
(2)ab=0 可得a=0 b不等于0 则b+c=0 b=-c 结论得证
或a不等于0,b等于0则a+c=0 a=-c 结论得证.

由于，c=-a-b
代入三次方式，展开计算得
ab(a+b)=0
则，a+b=0或者ab=0
如果a+b=0，那么，c=0且a和b互为相反数，由于奇次方计算保留正负号，所以a^n+b^n=0,c^n=0,那么结论成立
如果ab=0,那么（a+b)^n=a^n+b^n,所以a^n+b^n+c^n=a^n+b^n-(a+b)^n=0结论成立