作业帮在三角形ABC中,角acb=90度,ac=bc,点P Q在斜边AB上,且角PCQ=45度,求证：边PQ的平方=AP平方+BQ^2用余弦定理做
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:58:19
在三角形ABC中,角acb=90度,ac=bc,点P Q在斜边AB上,且角PCQ=45度,求证：边PQ的平方=AP平方+BQ^2用余弦定理做
在三角形ABC中,角acb=90度,ac=bc,点P Q在斜边AB上,且角PCQ=45度,求证：边PQ的平方=AP平方+BQ^2
用余弦定理做
在三角形ABC中,角acb=90度,ac=bc,点P Q在斜边AB上,且角PCQ=45度,求证：边PQ的平方=AP平方+BQ^2用余弦定理做
因为∠PCQ =45,∠ABC =90
所∠ACP + ∠BCQ =45
可作CR = AC,分PCQ为 ∠PCR = ∠ACP,∠QCR = ∠BCQ
则三角形ACP,RCP; 三角形BCQ,RCQ全等
PR = AP,BQ= RQ ,∠PRQ = A+B =90
所以AP² + BP² = PQ²
用余弦定理做是
PC² = AP² + AC² - 2AP AC cos 45
QC² = BQ² + BC² - 2BQ BC cos45
PQ² = PC² + QC² - 2 PC QC cos45
代入PC,QC,后
PQ² = AP² + AC² - 2AP AC cos 45 + BQ² + BC² - 2BQ BC cos45 - 2 PC QC cos45
设AC = BC = a,面积 = S
因为cos45 = sin45
2AP AC cos 45 + 2BQ BC cos45 + 2 PC QC cos45
= 4 * (1/2 AP AC sin 45 + 1/2 *BQ BC sin45+ 1/2 PC QC sin45)
= 4 S
AC² + BC² = 2a² = 4 S
PQ² = AP² + AC² - 2AP AC cos 45 + BQ² + BC² - 2BQ BC cos45 - 2 PC QC cos45
= AP² + BQ² +(AC² + BC²) - ( 2AP AC cos 45 + 2BQ BC cos45 + 2 PC QC cos45)
= AP² + BQ² + 4S - 4S
=AP² + BQ²