已知关于x的绝对值方程|x^2+ax+b|=2,其中a,b属于实数.（1）当a,b适合什么条件是,方程的解集恰有3个元素?（2）试求方程解集中的元素恰好各为直角三角形的三边长的充要条件.

已知关于x的绝对值方程|x^2+ax+b|=2,其中a,b属于实数.（1）当a,b适合什么条件是,方程的解集恰有3个元素?（2）试求方程解集中的元素恰好各为直角三角形的三边长的充要条件.
已知关于x的绝对值方程|x^2+ax+b|=2,其中a,b属于实数.
（1）
当a,b适合什么条件是,方程的解集恰有3个元素?
（2）
试求方程解集中的元素恰好各为直角三角形的三边长的充要条件.

已知关于x的绝对值方程|x^2+ax+b|=2,其中a,b属于实数.（1）当a,b适合什么条件是,方程的解集恰有3个元素?（2）试求方程解集中的元素恰好各为直角三角形的三边长的充要条件.
1.令f(x)=x^2+ax+b,则函数y=f(x)的图像开口向上
原方程|x^2+ax+b|=2的解集即为f(x)=2或-2的解集
也就是y=f(x)的图像与y=±2交点的横坐标,如图
而f(x)的最小值为f(-a/2)=b-(a^2)/4
当f(x)的最小值=-2时,方程的解集恰有3个元素
所以a,b适合条件是b-(a^2)/4=-2,即4b+8-a^2=0
2.解集中的元素恰好各为直角三角形的三边长,则有
解集中的三个元素都大于0.
令f(x)=x^2+ax+b,则f(0)=b>2,对称轴：-a/2>0,所以a<0
此时,|f(x)|=2的三个解为：
x1={-a-√[a^2-4(b-2)]}/2
x2=-a/2
x3={-a+√[a^2-4(b-2)]}/2
当x1,x2,x3恰为直角三角形三边长时,有x1^2+x2^2=x3^2
即a^2+2a√(a^2-4b)+a^2-4b+a^2=a^2-2a√(a^2-4b)+a^2-4b
于是：4a√[a^2-4(b-2)]+a^2=0
同时|f(x)|=2有三个解,a,b满足：4b+8-a^2=0,即a^2-4(b-2)=16
代入上式,得16a+a^2=0,
所以a=-16,b=62
再证明该条件的充分性：
将a=-16,b=62代入f(x)；
解方程f(x)=2或-2,得：x1=6,x2=8,x3=10
恰为直角三角形三边长；
所以所求充要条件为：a=-16,b=62