作业帮正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,E,F,分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证：平面AMN平行平面EFDB
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 05:02:33
正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,E,F,分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证：平面AMN平行平面EFDB
正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,E,F,分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证：平面AMN平行平面EFDB
正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,E,F,分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证：平面AMN平行平面EFDB
证明：
正方形A1B1C1D1中,连接B1D1.
∵三角形A1B1D1中,A1M=(1/2)A1B1,A1N=(1/2)A1D1
∴MN‖B1D1.
∵B1D1‖BD
∴MN‖BD
∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点
∴MF‖AD
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,
MF与AD平行且相等.
∴四边形是平行四边形.
∴AM‖DF
∵MN∩AM=M,BD∩DF=D
∴：平面AMN‖平面EFDB
设正方体的边长为a.
连接A1C1,则EF//A1C1. 取A1C1的中点为G, DD1的中点为H,连接GH, 则GH//DB1
由此,角A1GH=异面直线DB1与EF所成角。
连接A1H, 在三角形A1HG中 A1H=[根号(1+1/4)]a=[(根号5)/2]a,
A1...
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设正方体的边长为a.
连接A1C1,则EF//A1C1. 取A1C1的中点为G, DD1的中点为H,连接GH, 则GH//DB1
由此,角A1GH=异面直线DB1与EF所成角。
连接A1H, 在三角形A1HG中 A1H=[根号(1+1/4)]a=[(根号5)/2]a,
A1G=[(根号2)/2]a, GH=[(根号3)/2]a
由余弦定理:cos角A1GH=[1/2+3/4-5/4]/{[2*(根号2)/2]*[(根号3)/2]}
=0.
即:异面直线DB1与EF所成角的为90度 。
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