作业帮设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量求证：它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 21:27:06
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设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量求证：它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量
求证：它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
设向量OA、向量OB、向量OP是三个有共同起点的不共线向量求证：它们的中点A、B、P共线、当且仅当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
分为充分性证明和必要性证明.
充分性证明,即当存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB,来证明A、B、P共线.
必要性证明,即若A、B、P共线,则必存在实数m、n使m+n=1、且向量OP=m向量OA+n向量OB
充分性：向量AB=向量OB-向量OA,向量AP=向量OP-向量OA=(m-1)向量OA+n向量OB=-n向量OA+n向量OB＝n（向量OB-向量OA）
可见：向量AP=n向量AB,因此,A、B、P三点共线.
必要性：因为A、B、P共线,则可设向量AP=n向量AB
向量OP=向量OA+向量AP=向量OA+n向量AB=向量OA+n(向量OB-向量OA)=(1-n）向量OA+n向量OB
令m＝1-n,则上式成为：向量OP=m向量OA+n向量OB,且m+n=1
证毕.