作业帮f（x）是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2,且f（1）=0,则f（2011）的值是（ ）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 00:33:25
f（x）是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2,且f（1）=0,则f（2011）的值是（ ）
f（x）是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2,且f（1）=0,则f（2011）的值是（ ）
f（x）是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2,且f（1）=0,则f（2011）的值是（ ）
本题思路：由两个不等式求等式的值,应该想到用两边堵的方法构造等式.即x≤a,而x≥a,从而x=a
因为f（x+4)=f（x+2+2）≥f（x+2）+2
而f（x+4)）≤f（x）+4
故f（x）+4≥f（x+2）+2
即f（x+2)-f（x）≤2
而f（x+2）≥f（x）+2
即f（x+2）-f（x）≥2
故f（x+2）-f（x）=2
从而 f（3）-f（1）=2
f（5）-f（3）=2
f（7）-f（5）=2
.
f（2011）-f（2009）=2
相加,错位相消得f（2011）-f（1）=2*(1+2009)/2
即f（2011）=2010
拓展：当得到f（x+2）-f（x）=2时,它其实是每相隔一项差为2.注意x+2与x也相差2,我们把它大致看成是是以f（1）=0为首相,d=1的等差数列.从而f(x)=x-1.注意x一定和1一样都是奇数.这在做选择题和填空题时,又快又准 .
f(x+2)≥f(x)+2
f(x+4)≥f(x+2)+2≥f(x)+2+2=f(x)+4
又已知：f(x+4)≤f(x)+4
所以得到：f(x+4)=f(x)+4
2011=3+4*502
f(2011)=f(3)+4*502
接下来就是求 f(3)
f(3)≤f(-1)+4
f(1)≥f(-1)+2 f(-1)≤-2 所以...
全部展开
f(x+2)≥f(x)+2
f(x+4)≥f(x+2)+2≥f(x)+2+2=f(x)+4
又已知：f(x+4)≤f(x)+4
所以得到：f(x+4)=f(x)+4
2011=3+4*502
f(2011)=f(3)+4*502
接下来就是求 f(3)
f(3)≤f(-1)+4
f(1)≥f(-1)+2 f(-1)≤-2 所以 f(3)≤2
f(3)≥f(1)+2=2
得到f(3)=2
最后得到 f(2011)=2010
希望采纳，鼓励下，谢谢！
收起
∵f（x+2）≥f（x）+2
∴f（x+4）≥f（x+2）+2≥f（x）+4
即f（x+4）≥f（x）+4
∵f（x+4）≤f（x）+4
∴f（x+4）=f（x）+4
∴f（2011）=502×4+f（3）=2008+2=2010
2010