已知函数f(x)=(e的x次方-a)²+(e的-x次方-a)²,(0<a<2),求f(x)的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 13:23:21
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已知函数f(x)=(e的x次方-a)²+(e的-x次方-a)²,(0<a<2),求f(x)的最小值
已知函数f(x)=(e的x次方-a)²+(e的-x次方-a)²,(0<a<2),求f(x)的最小值
已知函数f(x)=(e的x次方-a)²+(e的-x次方-a)²,(0<a<2),求f(x)的最小值
f(x) =e^(2x) -2a (e^x) +a^2 +e^(-2x) -2a (e^-x) +a^2
=e^(2x) +e^(-2x) -2a(e^x +e^-x) +2a^2
=(e^x +e^-x)^2 -2a(e^x +e^-x) +2a^2 -2.
令 t =e^x +e^-x,
则 t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
当且仅当 e^x =e^-x,即x=0 时,等号成立.
所以 f(x) =g(t)
= t^2 -2at +2a^2 -2
= (t-a)^2 +a^2 -2,t≥2.
又因为 0