若数列{an}的前n项和为Sn=2的n次方+c,求数列{an}为等比数列的充要条件.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 06:59:30
若数列{an}的前n项和为Sn=2的n次方+c,求数列{an}为等比数列的充要条件.
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若数列{an}的前n项和为Sn=2的n次方+c,求数列{an}为等比数列的充要条件.
若数列{an}的前n项和为Sn=2的n次方+c,求数列{an}为等比数列的充要条件.

若数列{an}的前n项和为Sn=2的n次方+c,求数列{an}为等比数列的充要条件.
c= -1
当c= -1时,an=sn-s(n-1)=2^(n-1) n≥2 n=1时,a1=1满足该式,所以an=2^(n-1) 是等比数列,所以为充分条件
{an}为等比数列,由题意得:q=2,a1=2+c,设an=a1q^(n-1),sn=[a1/(1-q)](1-q^n)=(c+2)2^n-c-2
所以c=-1所以为必要条件

由等比数列性质,
当q=1时,Sn=kn,(k为常数) ,不合题意,舍去。
当q≠1时,Sn=a1*(1-q^n)/1-q=(a1/q-1)*q^n -a1/q-1.
因为Sn=2^n+c
对照得q=2,a1=1,c=-1