作业帮已知椭圆的中心在原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1)1.求椭圆方程（Y型方程）2.直线l过点F交椭圆于A、B两点,且点F分向量AB的比为2,求直线l的斜率
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 03:12:26
已知椭圆的中心在原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1)1.求椭圆方程（Y型方程）2.直线l过点F交椭圆于A、B两点,且点F分向量AB的比为2,求直线l的斜率
已知椭圆的中心在原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1)
1.求椭圆方程（Y型方程）
2.直线l过点F交椭圆于A、B两点,且点F分向量AB的比为2,求直线l的斜率
已知椭圆的中心在原点,离心率为1/2,一个焦点是F(0,1)1.求椭圆方程（Y型方程）2.直线l过点F交椭圆于A、B两点,且点F分向量AB的比为2,求直线l的斜率
(1)：由F(1,0)可知,所求椭圆的焦点在y轴上.
∴可设所求椭圆的方程为 y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0).
由题可知,c=1.
又∵e=1/2
∴有e²=c²/a²=1/a²=1/4
则,a²=4
∴b²=a²-c²=3.
即：所求椭圆方程为 y²/4+x²/3=1.
(2)：如图(我发了一张图……)
设A(x1,y1) B(x2,y2).
∵F(0,1)∈AB
∴可设直线AB的方程为 y=kx+1.
可知k≠0 , 又可x1＜0,x2＞0.
∵向量AF：向量FB=1：2
∴有-2x1=x2 即 2x1+x2=0.
联立{y=kx+1, 4x²+3y²=1. 得,(3k²+4)x²+6kx-9=0.
由求根公式得, x1=[-3k-6√(k²+1)]/(3k²+4)
x2=[-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4).
又∵2x1+x2=0
∴有[-6k-12√(k²+1)]/(3k²+4)+ [-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4)=0.
化简得,5k²=4
∴k²=4/5.
解得,k=2√5/5 或 -2√5/5
即：所求直线方程为 2√5x-5y+5=0 或
2√5x+5y-5=0.