换元法解一元二次方程(6x+6/x²+1)+(x的平方+1/x+1)=7

换元法解一元二次方程(6x+6/x²+1)+(x的平方+1/x+1)=7
换元法解一元二次方程
(6x+6/x²+1)+(x的平方+1/x+1)=7

换元法解一元二次方程(6x+6/x²+1)+(x的平方+1/x+1)=7
(6x+6/x²+1)+(x的平方+1/x+1)=7
x+1/x^2+1=t
6t+1/t=7
6t^2-7t+1=0
(6t-1)(t-1)=0
t=1/6 t=1
当t=1/6时
x+1/x^2+1=1/6
x^2+1=6x+6
x^2-6x-5=0
x=6+√(36+4*5*1)/2=3+√14
或x=6-√(36+4*5*1)/2=3-√14
当t=1时
x+1/x^2+1=1
x^2+1=x+1
x(x-1)=0
x=0 或x=1

令t=x 2 原方程为： t^2 6t-19=0 (t 3)^2-9-19=0 (t 3)^2=28 t 3=±2√7 t=-3±2√7 x 2=-3±2√7 x=-5±2√7 设

原方程可化为：6﹙x＋1﹚/﹙x²＋1﹚＋﹙x²＋1﹚/﹙x＋1﹚＝7
设：m＝﹙x²＋1﹚/﹙x＋1﹚
则有：6/m＋m＝7
m²－7m＋6＝0
﹙m－1﹚﹙m－6﹚＝0
m1＝1,
...

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原方程可化为：6﹙x＋1﹚/﹙x²＋1﹚＋﹙x²＋1﹚/﹙x＋1﹚＝7
设：m＝﹙x²＋1﹚/﹙x＋1﹚
则有：6/m＋m＝7
m²－7m＋6＝0
﹙m－1﹚﹙m－6﹚＝0
m1＝1,
m2＝6
①当﹙x²＋1﹚/﹙x＋1﹚＝1时
x²－x＝0
x1＝0, x2＝1
②当 ﹙x²＋1﹚/x＋1﹚＝6时
x²－6x－5＝0
x＝﹙6±2√14﹚/2
x3＝3＋√14, x4＝3－√14.
经检验：以上四个根都是原方程的解。

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