在用格林公式算曲线积分时什么时候可以直接得0?还有,是否所有的对坐标的曲线积分都可以用格林公式做? 像(2)题就直接得0了,(3) (4) 没有直接得0.为什么(2)不像(3)(4)这样做,或者

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:55:10
在用格林公式算曲线积分时什么时候可以直接得0?还有,是否所有的对坐标的曲线积分都可以用格林公式做?  像(2)题就直接得0了,(3) (4) 没有直接得0.为什么(2)不像(3)(4)这样做,或者
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在用格林公式算曲线积分时什么时候可以直接得0?还有,是否所有的对坐标的曲线积分都可以用格林公式做? 像(2)题就直接得0了,(3) (4) 没有直接得0.为什么(2)不像(3)(4)这样做,或者
在用格林公式算曲线积分时什么时候可以直接得0?还有,是否所有的对坐标的曲线积分都可以用格林公式做?

 
 
像(2)题就直接得0了,(3) (4) 没有直接得0.
为什么(2)不像(3)(4)这样做,或者(3)(4)不像(2)这样?

在用格林公式算曲线积分时什么时候可以直接得0?还有,是否所有的对坐标的曲线积分都可以用格林公式做? 像(2)题就直接得0了,(3) (4) 没有直接得0.为什么(2)不像(3)(4)这样做,或者
当曲线L围成的区域为闭区域时,就可以运用格林公式.
格林公式的值不一定是零,但是当∂P/∂y = ∂Q/∂x时,曲线积分的结果与路径无关
那么二重积分的值就是零.
其实三题都是用格林公式,二重积分值都是零.
只是第(2)题的曲线本身能围成闭区域,而第(3)(4)题需要添加直线才能围成闭区域.
第(2)题的曲线是星形线,是个合区域,所以可直接用格林公式.
∮L Pdx + Qdy = ± ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0
第(3)题只是一个弧线,不能围成合区域,所以要使用格林公式
要添加线段y = 0和x = π/2,所以这三条曲线使区域闭合
并且取正向(逆时针)时,格林公式取 + 号,负向(顺时针)时,格林公式取 - 号
然后用格林公式的二重积分结果减掉该两条直线的曲线积分,就得原式的结果.
曲线L:x = (π/2)y²,(x,y):(0,0) → (π/2,1),顺时针
添加L1:y = 0,dy = 0,x:π/2 → 0,顺时针
添加L2:x = π/2,dx = 0,y:1 → 0,顺时针
∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0
∫L1 Pdx + Qdy = ∫(π/2,0) 0 dx = 0
∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) [ 1 - 2y + 3(π/2)²y² ] dy = - π²/4
既然三个线段围成闭区域,它们的积分也同样道理:
L+L1+L2 = 闭曲线(L+L1+L2)
∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)
∫L = ∮(L+L1+L2) - ∫L1 - ∫L2
即∫L Pdx + Qdy = 0 - 0 - (- π²/4) = π²/4
第(4)题跟第(3)题同样原理,1/4个圆弧不足以围成闭区域,于是添加线段y = 0和x = 1
那么就可以应用格林公式了.
曲线L:y = √(2x - x²),(x,y):(0,0) → (1,1),顺时针
直线L1:y = 0,dy = 0,x:1 → 0,顺时针
直线L2:x = 1,dx = 0,y:1 → 0,顺时针
∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0
∫L1 Pdx + Qdy = ∫(1→0) x² dx = - 1/3
∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) - (1 + sin²y) dy = 3/2 - (1/4)sin(2)
∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)
∫L = 0 - (- 1/3) - [3/2 - (1/4)sin(2)] = - 7/6 + (1/4)sin(2)
我这个方法跟你书上那个的道理是一样的.
∫L(顺时针) + ∫L1(顺时针) + ∫L2(顺时针) = - ∮(L+L1+L2)(顺时针) = 0
∫L(顺时针) = 0 - ∫L1(顺时针) - ∫L2(顺时针)
∫L(顺时针) = ∫L1(逆时针) + ∫L2(逆时针)
通常都选择用直线跟L绕成闭区域,因为直线的导数能简单求出,容易简化.
另外,若被积函数上有奇点,就得绕开奇点部分,挖一个足够小的圆形或椭圆形,然后用格林公式减掉该部分的积分.

在用格林公式算曲线积分时什么时候可以直接得0?还有,是否所有的对坐标的曲线积分都可以用格林公式做? 像(2)题就直接得0了,(3) (4) 没有直接得0.为什么(2)不像(3)(4)这样做,或者 格林公式,关于对两类曲线的积分格林公式什么时候可以用? 高等数学 格林公式 曲线积分 一道高数题 用格林公式求曲线积分 格林公式曲线积分的计算 关于格林公式,曲线积分的问题 关于格林公式经过原点的问题如图,这是课本上一道例题,当区域经过原点时不能直接用格林公式,需要挖洞,但为什么要选适当小的r?什么道理? 还有,为什么应用了格林公式那个对L曲线的积分 高等数学作用格林公式算曲线积分补全闭合曲线的问题 为什么对一个 第二类曲线积分,如果用格林公式做是等于0 而直接用参数解曲线积分 却得2π(派) 例如(xdy-ydx)/(x的平方+y平方) 在(以r为半径,原点为圆心)上L 的第二类曲线积分.如果 用 上面那题用格林公式得出两个偏导相等,那为什么曲线积分不直接等于0?而下面那题,两个偏导相等就直接得上面那题用格林公式得出两个偏导相等,那为什么曲线积分不直接等于0?而下面那题, 求曲线积分的时候为什么有时不能用格林公式,要在中间‘挖’出一小块才可以?还有就是单连通复连通是? 曲线积分问题.利用格林公式计算,第七题 高数曲线积分问题,格林公式,(第二大题) 请问格林公式与第二类曲线积分的区别? 运用格林公式,解决第二类曲线积分. 第二型曲线积分应用格林公式的问题请教我用第二型曲线积分的计算方法直接将曲线方程代入被积表达式,算出来的结果与标准答案是一致的.但是我想练习一下格林公式的应用,却发现得不到 在使用格林公式时,左边的是对面积的重积分,右边是对坐标的曲线积分在使用格林公式时,左边的是对面积的2重积分,右边是对坐标的曲线积分.左边是不考虑方向的,但右边是考虑方向的,对右 拜托用格林公式计算曲面积分