证明不等式:x大于0 时,e^x大于ex

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:06:49
证明不等式:x大于0 时,e^x大于ex
xQjPTB HIvR(,ł5fn_xo]f93sF{I{pщ^Xx@wQ=JBUSNKK5cA/c$g/ xczsZ}VBG:OyI µUle,n֧9dhQA Y`( 9&t촊E5aV䛄Y pv\%k Q/̨^Mӌfzm/ P4,k7c]YԼ Yk3dר2> :.ӆEdl%:й[{Wq6c VӞ|$"ܿ9

证明不等式:x大于0 时,e^x大于ex
证明不等式:x大于0 时,e^x大于ex

证明不等式:x大于0 时,e^x大于ex
令 y=e^x-ex

求导
得到
y'=e^x-e
令y'=0
得到
x=1
所以
在(0,1)是减区间
在(1,+∞)是增区间 y的最小值是 x=1时 也就是y min=e^1-e=0
所以
y始终>0
也就是
e^x>ex

题目本身有问题。
x=1时,e^x=e ex=e,是相等的。
x>1时,不等式是成立的。
证:
令f(x)=e^x-ex
x=1时,f(x)=0
f'(x)=e^x-e
x>1时,f'(x)>e-e=0,即对于任意>1的x,f(x)单调递增,即有
x>1时,f(x)>f(1)=0
e^x-ex>0
e^x>ex

x=1时,e^x=e ex=e,是相等的。
x>1时,不等式是成立的。
证:
令f(x)=e^x-ex
x=1时,f(x)=0
f'(x)=e^x-e
x>1时,f'(x)>e-e=0,即对于任意>1的x,f(x)单调递增,即有
x>1时,f(x)>f(1)=0
e^x-ex>0
e^x>ex