已知D是△ABC内部的一点,且AB^2-AC^2=BD^2-DC^2.用向量证明 AD垂直BC

已知D是△ABC内部的一点,且AB^2-AC^2=BD^2-DC^2.用向量证明 AD垂直BC
已知D是△ABC内部的一点,且AB^2-AC^2=BD^2-DC^2.用向量证明 AD垂直BC

已知D是△ABC内部的一点,且AB^2-AC^2=BD^2-DC^2.用向量证明 AD垂直BC
以下直接用字母AB表示向量AB.
由AB^2-AC^2=BD^2-DC^2 可知 AB^2-BD^2-(AC^2-CD^2)=0
因为AB^2-BD^2=(AB-BD)(AB+BD)=(AB-BD)AD;
AC^2-CD^2=(AC+CD)(AC-CD)=(AC-CD)AD;
所以AB^2-BD^2-(AC^2-CD^2)
=(AB-BD)AD-(AC-CD)AD
=(AB-AC+CD-BD)AD
=(CB+CB)AD
=2(CB)(AD)
=0
所以(CB)(AD)=0, 即CB垂直AD.