设α+β=120°,求y=cos²α+cos²β的最大值

设α+β=120°,求y=cos²α+cos²β的最大值
设α+β=120°,求y=cos²α+cos²β的最大值

设α+β=120°,求y=cos²α+cos²β的最大值
y=cos²α + cos²β
=[1+cos(2α)]/2 + [1+cos(2β)]/2
=1+ cos(α+b)cos(α-β)
=1 - (1/2)cos(α-β)
= 1 - (1/2)cos(α - 120° +α )
= 1 - (1/2)cos(2α - 120°)
cos(2α - 120°) = -1时,y取最大值 1 + 1/2 = 3/2
cos(2α - 120°) = 1时,y取最小值 1 - 1/2 = 1/2

2y=2cos²a+2cos²b
=1+cos(2a)+1+cos(2b)
=2+2cos(a+b)cos(a-b)
=2-cos(a-b)
即: 2y=2-cos(a-b).
由题设可知: -60º＜a-b＜60º
∴ 1/2＜cos(a-b)≤1
∴ 1≤2-cos(a-b)＜3/2.
即: 1≤2y＜3/2
∴1/2≤y＜3/4
∴(y)min=1/2.
(y)max不存在.