作业帮圆O是三角形ABC的外接圆,∠BCA外角的平分线CD交圆O于点D,F为弧AD上一点BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.（1）求证：△ABD为等腰三角形（2）求证：AC·AF=DF·EF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/06/12 19:36:22
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圆O是三角形ABC的外接圆,∠BCA外角的平分线CD交圆O于点D,F为弧AD上一点BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.（1）求证：△ABD为等腰三角形（2）求证：AC·AF=DF·EF
圆O是三角形ABC的外接圆,∠BCA外角的平分线CD交圆O于点D,F为弧AD上一点
BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
（1）求证：△ABD为等腰三角形
（2）求证：AC·AF=DF·EF
圆O是三角形ABC的外接圆,∠BCA外角的平分线CD交圆O于点D,F为弧AD上一点BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.（1）求证：△ABD为等腰三角形（2）求证：AC·AF=DF·EF
（1）证明：因为角BCA的外角平分线交圆O于D
所以角DCM=角ACD
因为角ACD=角ABD
角DCM=角BAD
所以角ABD=角BAD
所以BD=AD
所以三角形ABD是等腰三角形
（2）证明：连接BF
因为BC-AF
所以弧BC=弧AF
因为角BDC=1/2弧BC
角ADF=1/2弧AF
所以角BDC=角ADF
因为角ADC=角BDC+角ADB
角BDF=角ADB+角ADF
所以角ADC=角BDF
因为角BDF=角EAF
所以角ADC=角EAF
因为角AFE=角ABD
角ABD=ACD（已证）
所以角ACD=角AFE
所以三角形ADC和三角形EAF相似（AA)
所以AC/EF=CD/AF
因为角BAC=1/2弧BC
角ABF=1/2弧AF
所以角BAC=角ABF
因为角BAD=角BAC+角CAD
角ABD=角ABF+角DBF
角ABD=角BAD（已证）
所以角DBF=角CAD
因为角DBF=1/2弧DF
角CAD=1/2弧CD
所以弧DF=弧CD
所以DF=CD
所以AC/EF=DF/AF
所以AC*AF=DF*EF