奇数的平方和

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 03:18:50
奇数的平方和
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奇数的平方和
奇数的平方和

奇数的平方和
1^2+..+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2-1)
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+...+(2n)^2=2n(2n+1)(4n+1)/6=n(2n+1)(4n+1)/3
2^2+4^2+...+(2n)^2=4(1^2+2^2+...+n^2)=4n(n+1)(2n+1)/6=2n(n+1)(2n+1)/3
1^2+3^2+...(2n-1)^2=[1^2+2^2+...+(2n)^2]-[2^2+4^2+...+(2n)^2]
=n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3=n(2n+1)(2n-1)/3=(1/3)n(4n^2-1)

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
.
.
.
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
以上各式相加得
(n+1)^3-1=3[n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2)+3[n+(n-1)+...+2+1]+n
整理得n^2+(n-1)^2+......

全部展开

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
.
.
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2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
以上各式相加得
(n+1)^3-1=3[n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2)+3[n+(n-1)+...+2+1]+n
整理得n^2+(n-1)^2+...+2^1+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
两边乘以4得
(2n)^2+[2(n-1)]^2+...+(2*2)^2+(2*1)^2=2n(n+1)(2n+1)/3 (a)
而
(2n)^2+(2n-1)^2+[2(n-1)]^2+...+(2*1)^2+1^2=n(2n+1)(4n+1)/3 (b)
(b)-(a)得
(2n-1)^2+(2n-3)^2+...+1^2=n(4n^2-1)/3

收起

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