作业帮设函数(fx)=x-(a/2)lnx,其中a∈R （1）函数f(x)的图像是否经过一个定点?求在定点处的切线方程.（2）讨论f(x)的单调区间.（3）求证e^2(√派-√e)＞(派/e)^√e
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 13:33:26
设函数(fx)=x-(a/2)lnx,其中a∈R （1）函数f(x)的图像是否经过一个定点?求在定点处的切线方程.（2）讨论f(x)的单调区间.（3）求证e^2(√派-√e)＞(派/e)^√e
设函数(fx)=x-(a/2)lnx,其中a∈R （1）函数f(x)的图像是否经过一个定点?求在定点处的切线方程.（2）讨论f(x)的单调区间.（3）求证e^2(√派-√e)＞(派/e)^√e
设函数(fx)=x-(a/2)lnx,其中a∈R （1）函数f(x)的图像是否经过一个定点?求在定点处的切线方程.（2）讨论f(x)的单调区间.（3）求证e^2(√派-√e)＞(派/e)^√e
要让函数经过一个定点,就是看有没有可能取出一对(x,y),使得a被消去了.可以看到,要使得a被消去,只能让lnx = 0.此时,x = 1,y = 1.即f一定过(1,1)这个点.
再看切线方程.先求个导：
f'(x) = 1 - a/(2x),
则f'(1) = 1 - a/2
所以切线方程是y - 1 = f'(1) (x - 1),你自己整理吧.
首先,f定义域在正数范围内.
那么,如果a ≤ 0,f'恒正,f单调增.
如果a > 0,可以看到f'有一个零点,在x = a/2处.所以f在(0,a/2)单调减,在后边单调增
我们肯定要充分利用这一题的函数结论.给要证的东西取个对数,相当于要证
2(√π - √e) > √e(lnπ - lne)
移项整理,有
√π - (1/2)√elnπ > √e - (1/2)√elne
√π - (2/2)√eln√π > √e - (2/2)√eln√e
就是要证明上式正确
现在是不是很像原函数啦?
令原函数a = 2√e,即f(x) = x - √elnx,那么现在就变成要证明f(√π) > f(√e)
看上一问证出的单调性,此时最小值点在x = a/2 = √e处,也就是f(√e)是整个函数最小值点,那么显然有f(√π) > f(√e)
证毕
其实这题给出了一种不等式证明思路.要是发现要证的不等式长得很像,可以先移项什么的化简成比较简单的形式（慎重进行乘除、平方操作,防止出现不合理结果以及不等号变号）.如果还证不出,可以改成函数进行分析,从单调性来证不等式.
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