在三角形ABC中,已知a²=b(b+c),且∠A=80°,求∠C.

在三角形ABC中,已知a²=b(b+c),且∠A=80°,求∠C.
在三角形ABC中,已知a²=b(b+c),且∠A=80°,求∠C.

在三角形ABC中,已知a²=b(b+c),且∠A=80°,求∠C.
已知a的平方等于b(b+c),即a²=b²+bc
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
两式相减 bc-c²+2bccosA=0
b-c+2bcosA=0
由正弦定理,化为角的形式
sinB-sinC+2sinBcosA=0
sinB-sin(A+B)+2sinBcosA=0
sinB-(sinAcosB+sinBcosA)+2sinBcosA=0
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)
所以B=A-B
故∠A=2∠B
∠B=40°
∠C=60°

解:延长CA到D,使AD=AB,连接BD,则:∠D=∠ABD=(1/2)∠BAC=40°.

∵a²=b(b+c),即BC²=CA*CD,BC/CA=CD/BC;

又∠C=∠C.

∴⊿BCA∽⊿DCB(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似);

∴∠CBA=∠CDB=40°,∠C=180°-∠CAB-∠CBA=60°.