高二关于圆与直线的问题!已知圆c：x²+y²-2x+4y-4=0与直线方程L：y=x+b相交于A,B两点,是否存在实数b使得OA⊥OB（O为坐标原点）?若存在,求出实数b的值；若不存在,说明理由.

高二关于圆与直线的问题!已知圆c：x²+y²-2x+4y-4=0与直线方程L：y=x+b相交于A,B两点,是否存在实数b使得OA⊥OB（O为坐标原点）?若存在,求出实数b的值；若不存在,说明理由.
高二关于圆与直线的问题!
已知圆c：x²+y²-2x+4y-4=0与直线方程L：y=x+b相交于A,B两点,是否存在实数b使得OA⊥OB（O为坐标原点）?若存在,求出实数b的值；若不存在,说明理由.

高二关于圆与直线的问题!已知圆c：x²+y²-2x+4y-4=0与直线方程L：y=x+b相交于A,B两点,是否存在实数b使得OA⊥OB（O为坐标原点）?若存在,求出实数b的值；若不存在,说明理由.
直线y=x+b
代入
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
x1+x2=-(b+1)=-b-1
x1x2=(b²+4b-4)/2
y=x+b
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=(b²+2b-4)/2
AB是直径,O在圆上
所以OA垂直OB
OA斜率y1/x1,OB是y2/x2
所以(y1/x1)(y2/x2)=-1
y1y2=-x1x2
(b²+2b-4)/2=-(b²+4b-4)/2
b²+3b-4=0
b=-4,b=1
所以是x-y-4=0和x-y+1=0

x²+y²-2x+4y-4=0
(x-1)^2+(y+2)^2=9
故圆心在（1，－2），半径为3
所以原点在圆内
直线与圆联立方程组得
x²+y²-2x+4y-4=0
y=x+b
消去y解得
x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0
2x^2+(2b+2)x+b^2+4b-4...

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x²+y²-2x+4y-4=0
(x-1)^2+(y+2)^2=9
故圆心在（1，－2），半径为3
所以原点在圆内
直线与圆联立方程组得
x²+y²-2x+4y-4=0
y=x+b
消去y解得
x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0
2x^2+(2b+2)x+b^2+4b-4=0
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(b+1)^2-2(b^2+4b-4)
故AB＾2＝2*[(b+1)^2-2(b^2+4b-4)]
圆心到直线y=x+b的距离为|b|/√2,为AB距离一半
故
[|b|/√2]^2=1/4*2*[(b+1)^2-2(b^2+4b-4)]
b^2=[(b+1)^2-2(b^2+4b-4)]
展开得
b^2=b^2+2b+1-2b^2-8b+8
2b^2+6b-9=0
b=(-6±6√3)/4
b=(-3±3√3)/2

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1楼正解
直线y=x+b
代入圆：
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
（x1-x2）²=（x1+x2）² - 4x1x2 = -b² -6b+9
AB² = 2（x1-x2）² = -2b² -12b +18
AB的中点D横坐标=（x1+x2）/2 = -(...

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1楼正解
直线y=x+b
代入圆：
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
（x1-x2）²=（x1+x2）² - 4x1x2 = -b² -6b+9
AB² = 2（x1-x2）² = -2b² -12b +18
AB的中点D横坐标=（x1+x2）/2 = -(b+1)/2
D纵坐标=（b-1）/2
因为OA⊥OB
所以：OD² = AB²/4
即：2b² +2 = -2b² -12b +18
b² +3b -4 =0
b=-4 或者 b= 1

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