设函数f(x)=x²+ax是R上的偶函数,1 求实数a的值2 用定义证明：f(x)在（0,正无穷）上是增函数

设函数f(x)=x²+ax是R上的偶函数,1 求实数a的值2 用定义证明：f(x)在（0,正无穷）上是增函数
设函数f(x)=x²+ax是R上的偶函数,
1 求实数a的值
2 用定义证明：f(x)在（0,正无穷）上是增函数

设函数f(x)=x²+ax是R上的偶函数,1 求实数a的值2 用定义证明：f(x)在（0,正无穷）上是增函数
1
因为是R上的偶函数
则
f(-x)=f(x)
(-x)²+a(-x)=x²+ax
x²-ax=x²+ax
2ax=0
a=0
2
设x1>x2>0
f(x1)-f(x2)
=x1²-x2²
=(x1+x2)(x1-x2)
因为x1>0 x2>0
所以x1+x2>0
因为x1>x2
所以x1-x2>0
所以
f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以
f(x)在（0,正无穷）上是增函数

解1：
因为：f(x)是偶函数
所以：f(-x)=f(x)
即：
(-x)^2+a×(-x)=x^2+ax
x^2-ax=x^2+ax
2ax=0
a=0

解2：
由上解，有：f(x)=x^2
设：x2＞x1＞0
f(x2)-f(x1)=(x2)^2-(x1)^2
=(x2-x1)(x2+x...

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解1：
因为：f(x)是偶函数
所以：f(-x)=f(x)
即：
(-x)^2+a×(-x)=x^2+ax
x^2-ax=x^2+ax
2ax=0
a=0

解2：
由上解，有：f(x)=x^2
设：x2＞x1＞0
f(x2)-f(x1)=(x2)^2-(x1)^2
=(x2-x1)(x2+x1)
因为：x2＞x1＞0
所以：(x2-x1)(x2+x1)＞0
即：f(x2)-f(x1)＞0
f(x2)＞f(x1)
所以，当x∈(0，∞)时，f(x)是增函数。

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