抛物线顶点o,焦点F,M是抛物线上动点,则|MO|/|MF|取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:51:41
抛物线顶点o,焦点F,M是抛物线上动点,则|MO|/|MF|取值范围
抛物线顶点o,焦点F,M是抛物线上动点,则|MO|/|MF|取值范围
抛物线顶点o,焦点F,M是抛物线上动点,则|MO|/|MF|取值范围
设y^2=4px,焦点(p,0),M(x.y),MO/MF=根号(x^2+y^2)/根号((x-p)^2+y^2),设x=ap并将y^2=4px代入得比值=根号下【(a^2+4a)/(a+1)^2】,对a求导为零则在a=2时比值最大根号(4/3).最小为0.
综述:0
显然当M点在O点上时,|MO|/|MF|取得最小值0,现在求最大值,设抛物线y²=4px,其准线为x=-p
设M点为(x,y),为方便计算我们计算比值的平方,|MO|²/|MF|²=(x²+y²)/(x+p)²=(x²+4px)/(x²+2px+p²),如果你学过高等数学求导很容易算出极值,如果没有学...
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显然当M点在O点上时,|MO|/|MF|取得最小值0,现在求最大值,设抛物线y²=4px,其准线为x=-p
设M点为(x,y),为方便计算我们计算比值的平方,|MO|²/|MF|²=(x²+y²)/(x+p)²=(x²+4px)/(x²+2px+p²),如果你学过高等数学求导很容易算出极值,如果没有学过高等数学,这里用初等数学求极值,只是麻烦点。(x²+4px)/(x²+2px+p²)=1+(2px-p²)/(x²+2px+p²),显然2px-p²>0时才会有最大值,那就相当于求
(x²+2px+p²)/(2px-p²)的最小值,(x²+2px+p²)/(2px-p²)=x/2p+5/4+9p²/4(2px-p²)=(2px-p²)/4p²+9p²/4(2px-p²)+3/2>=2[(2px-p²)/4p²*9p²/4(2px-p²)]^(1/2)+3/2=3,此时2px-p²)/4p²=9p²/4(2px-p²),x=2p,|MO|²/|MF|²=4/3,|MO|/|MF|=2/根号3
所以|0≤|MO|/|MF|≤2/根号3,希望对你有帮助。
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