作业帮问一道初三几何题以直角三角形ABC的直角边AC为直径作圆,交斜边AB于点D,过点D作圆的切线.求证:这条切线平分另一条直角边BC.第一个回答者 DE为什么与AC垂直?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:26:39
问一道初三几何题以直角三角形ABC的直角边AC为直径作圆,交斜边AB于点D,过点D作圆的切线.求证:这条切线平分另一条直角边BC.第一个回答者 DE为什么与AC垂直?
问一道初三几何题
以直角三角形ABC的直角边AC为直径作圆,交斜边AB于点D,过点D作圆的切线.
求证:这条切线平分另一条直角边BC.
第一个回答者 DE为什么与AC垂直?
问一道初三几何题以直角三角形ABC的直角边AC为直径作圆,交斜边AB于点D,过点D作圆的切线.求证:这条切线平分另一条直角边BC.第一个回答者 DE为什么与AC垂直?
楼上那位你不要教错人哦,四边形CEDF很明显一看就知道没可能是正方形,所以你从一开始已经是错的了,而且你的证法太走弯路了,不够简捷明了,我给你们提供一个我的作法,请耐心看,因为打不了数学符号上去,所以看起来很多字,其实仔细看完的话,这方法是最简单的^_^
首先,可看出此直角三角形的斜边是AB,角C是直角.
先设切线DE交BC于E点.
因AC是圆的直径,所以圆周角ADC为直角,即CD垂直于AB.
又因圆切角CDE等于圆周角CAD,且角CDE和角BDE互为余角（CD垂直于AB已证）,所以角CAD与角BDE也互余.
又因角CAB于角B互余（直角三角形中）,所以角B等于角BDE,即得出边DE=BE（等角对等边）.
因角ACB为直角,即过圆心且过C点（交线BC与圆的交点）的AC垂直于BC,所以BC为圆的切线.那么圆切角DCE等于圆周角CAD,又因圆切角CDE也等于圆周角CAD已证,所以角DCE等于角CDE,即得出边CE=DE.（等角对等边）
所以得出CE等于BE（DE=BE已证）,即切线DE平分直角边BC.
作辅助线,连接直角边AC的中点E和D点,设过D点的切线交BC边于F点
因DE=CE DE垂直于AC,角C=90,故四边形CEDF为正方形.所以切线DF垂直于BC
三角形ADC中,DE垂直于AC,CE=EA,所以三角形ADC为等腰三角形,角DCA=角A
角DCB=90-角DCA=90-角A
因角B=90-角A 故角B=角DCB,所以三角形BDC为等腰三角形.
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作辅助线,连接直角边AC的中点E和D点,设过D点的切线交BC边于F点
因DE=CE DE垂直于AC,角C=90,故四边形CEDF为正方形.所以切线DF垂直于BC
三角形ADC中,DE垂直于AC,CE=EA,所以三角形ADC为等腰三角形,角DCA=角A
角DCB=90-角DCA=90-角A
因角B=90-角A 故角B=角DCB,所以三角形BDC为等腰三角形.
在等腰三角形BDC中,因切线DF垂直于底边BC,所以BF=FC.
收起
过D点作切线EF交BC于E点，并连接CD；
EC与ED均为切线，所以EC＝ED，
因为∠FDA=∠DCA,且∠FDA=∠BDE,所以∠DCA=∠BDE。
又因为∠B与∠DCA均为∠A的余角，所以∠B＝∠DCA,
因此∠BDE＝∠B，
所以BE=DE,
所以BE=EC即切线EF平分BC