求教一道二项式定理的题目~求证:2＜＝(1+1/n)^n＜(n为正整数)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:56:49
求教一道二项式定理的题目~求证:2＜＝(1+1/n)^n＜(n为正整数)
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求教一道二项式定理的题目~求证:2＜＝(1+1/n)^n＜(n为正整数)
求教一道二项式定理的题目~
求证:2＜＝(1+1/n)^n＜(n为正整数)

求教一道二项式定理的题目~求证:2＜＝(1+1/n)^n＜(n为正整数)
设f(x)=(1+1/x)^x,
两边取自然对数并微分得
[1/f(x)]*df(x)=ln(1+1/x)*dx-x*[1/(1+1/x)]*dx/x^2
化简
df(x)/dx=f(x)*[ln(1+1/x)-1/(1+x)]
对中括号里的部分再微分一次,x>1时所得值恒小于0
又f(x)恒大于0,可知其单调递减,又x=1时,中括号中部分为ln2-0.5>0,x趋向正无穷时,中括号中部分趋向0.
故x在1和无穷之间时df(x)/dx恒大于零,即f(x)单调递增
所以数列(1+1/n)^n (n>1,且为整数)单调递增.
n=1时原式等于2,n趋向无穷时原式趋向e小于3,由单调性可知原不等式成立
即 2

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