作业帮高数 定积分 如何 证明下面的式子
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 16:57:30
高数 定积分 如何 证明下面的式子
高数 定积分 如何 证明下面的式子
高数 定积分 如何 证明下面的式子
用广义积分中值定理,立刻能得出结果,结果是0 .
先要知道广义积分中值定理：
设f(x)与g(x)在[a,b]上都连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则至少存在一点 ξ ∈[a,b],使得
∫ f(x)·g(x) dx ＝ f(ξ) · ∫ g(x) dx ,积分限是a到b
证明：设 f(x)＝1/(1＋x), g(x)＝x^n ,易知,设f(x)与g(x)在[0,1]上都连续,且g(x)在[0,1]上不变号.所以,由广义积分中值定理,可知,存在一点 ξ ∈[0,1],使得
∫ f(x)·g(x) dx ＝ f(ξ) · ∫ g(x) dx ,积分限是0到1
即 存在一点 ξ ∈[0,1],使得
∫ x^n/(1＋x) dx ＝1/(1＋ξ )· ∫ x^n dx ,积分限是0到1 , ξ ∈[0,1],
而0到1上的定积分 ∫ x^n dx ＝x^(n＋1)/(n＋1)＝1/(n＋1)
也就是说, ∫ x^n/(1＋x) dx ＝1/[(1＋ξ )· (n＋1)] ,其中ξ ∈[0,1],
因此,当n→∞时,原积分＝0
对于这种被积函数含有n的这种式子，如果能够化简就尽量进行化简，然后再积分，不过能行的通的很少，所以要具体问题具体对待。对于这道题目，呵呵，简单的放缩法就可以证明（夹逼定理的思想）。
证明方法如下：首先进行放大（把分母缩小就可以了）显然1+x>1+0=1（可以取等号），于是被积函数变成了简单的幂函数，直接运算定积分，然后取极限就可以了。
然后进行缩小（把分母放大）显然1+...
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对于这种被积函数含有n的这种式子，如果能够化简就尽量进行化简，然后再积分，不过能行的通的很少，所以要具体问题具体对待。对于这道题目，呵呵，简单的放缩法就可以证明（夹逼定理的思想）。
证明方法如下：首先进行放大（把分母缩小就可以了）显然1+x>1+0=1（可以取等号），于是被积函数变成了简单的幂函数，直接运算定积分，然后取极限就可以了。
然后进行缩小（把分母放大）显然1+x<1+1=2（可以取等号），同样计算定积分之后取极限就可以证明了。
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0≤∫（0～1）x^n/(1+x)dx≤∫（0～1）x^ndx=1/(n+1)，由夹逼原理，原极限为0