作业帮麻烦知道的大神告诉下,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 14:12:19
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麻烦知道的大神告诉下,
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1.证明xln[x+√(1+x²)]>√(1+x²)-1(x>0)
证明：设f(x)=xln[x+√(1+x²)]-√(1+x²)+1；由于当x>0时,
f '(x)=ln[x+√(1+x²)]+x[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]+x/√(1+x²)-x/√(1+x²)
=ln[x+√(1+x²)]>0恒成立；即在x>0时,f(x)是增函数；又f(0)=0；故当x>0时恒有f(x)>0；
即有xln[x+√(1+x²)]>√(1+x²)-1(x>0).
2.求极限x→1lim[2/(x²-1)-3/(x³-1)]
原式=x→1lim[2/(x-1)(x+1)-3/(x-1)(x²+x+1)]
=x→1lim[2(x²+x+1)-3(x+1)]/[(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x²-x-1)/(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x+1)(x-1)/(x-1)(x+1)(x²+x+1)]
=x→1lim[(2x+1)/(x+1)(x²+x+1)]=1/2.
第一题，设左边函数为f(x)，右边函数为g(x)，构造函数F(x)=f(x)-g(x)，求导F‘(x)=f(x)/x，在x>0上F’(x)>0恒成立，所以F(x)为增函数，在x=0处有最小值F(0)=0，所以x>0时F(x)>0，即f(x)>g(x)
第二题通分之后因式分解，化简为(2x+1)/[(x+1)(x^2+x+1)]，把x=1代入得原式=1/2
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