作业帮曲线y=x^2+1上点p处的切线与曲线y=-2x^2-1也相切,求点P的坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:39:49
曲线y=x^2+1上点p处的切线与曲线y=-2x^2-1也相切,求点P的坐标
曲线y=x^2+1上点p处的切线与曲线y=-2x^2-1也相切,求点P的坐标
曲线y=x^2+1上点p处的切线与曲线y=-2x^2-1也相切,求点P的坐标
解:设切线方程为y=kx+b
则(1)kx+b=x^2+1
只有唯一解时k^2-4(1-b)=0
k^2=4(1-b)
(2)kx+b=-2x^2-1
只有唯一解时k^2-4*2(1+b)=0
k^2=8(1+b)
8(1+b)=4(1-b)
b=-1/3
k=±4√3/3
则直线y=(4√3/3)x-1/3与y=-(4√3/3)x-1/3都是切线,二者的交点就是P点,坐标为
P(0,-1/3)
设P点为（a, a^2+1)
y=x^2+1， y'=2x
过P的切线为：y=2a(x-a)+a^2+1=2ax-a^2+1
它也为y=-2x^2-1的切线， 由y'=-4x， 得斜率2a=-4x, 即x=-a/2, 为切点横坐标，y=-a^2/2-1为纵坐标。代入上面的切线方程得：-a^2/2-1=2a(-a/2)-a^2+1
得：a^2=4/3
所以 a...
全部展开
设P点为（a, a^2+1)
y=x^2+1， y'=2x
过P的切线为：y=2a(x-a)+a^2+1=2ax-a^2+1
它也为y=-2x^2-1的切线， 由y'=-4x， 得斜率2a=-4x, 即x=-a/2, 为切点横坐标，y=-a^2/2-1为纵坐标。代入上面的切线方程得：-a^2/2-1=2a(-a/2)-a^2+1
得：a^2=4/3
所以 a=±2/√3,
因此P的坐标为（±2/√3, 7/3)
收起
设P的坐标为(t,t^2+1)，其切线斜率为2t,所以切线方程为y-t^2-1=2t(x-t)
将切线方程与y=-2x^2-1联立，得2x^2+2tx+2-t^2=0，
该方程应该有唯一解，所以根据判别式=0得到t=正负2/根号3
所以P点坐标为(2/根号3，7/3)或者(-2/根号3,7/3)