设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 02:17:23
设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵.
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设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵.
设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵.

设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵.
我证的是T^-1AT,你再调整一下字母吧~
证明：
设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似,
即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,
J1 λi 1
J2 λi
J= .Ji=.1
Jn 为Jordan标准型,而 λi ,i=1,2,...,s
由于λi都为实数,所以J为上三角形实矩阵.
又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有
P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J,即T^(-1)AT=SJS^(-1)
由于S,J,S^(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.
证毕.

A矩阵的标准若尔当型不就是一个上三角矩阵吗

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