作业帮a>0,b>0且a≠1 b≠1,求极限lim (n→∞)((n√a+n√b)/2)^n ("n√"是n次根号下）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 17:49:38
a>0,b>0且a≠1 b≠1,求极限lim (n→∞)((n√a+n√b)/2)^n ("n√"是n次根号下）
a>0,b>0且a≠1 b≠1,求极限lim (n→∞)((n√a+n√b)/2)^n ("n√"是n次根号下）
a>0,b>0且a≠1 b≠1,求极限lim (n→∞)((n√a+n√b)/2)^n ("n√"是n次根号下）
∵lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]
=lim(n->∞)[(ln(a^(1/n)+b^(1/n))-ln2)/(1/n)]
=lim(x->0)[(ln(a^x+b^x)-ln2)/x] (设x=1/n)
=lim(x->0)[(a^x*lna+b^x*lnb)/(a^x+b^x)] (0/0型,应用罗比达法则)
=(lna+lnb)/2
=ln(ab)/2
∴原式=lim(n->∞){e^[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^{lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^(ln(ab)/2)
=√(ab).
等于（Cn0+Cn1+……Cnn）/2^n=2^n/2^n=1
a>0,b>0且a≠1 b≠1,求极限lim (n→∞)((n√a+n√b)/2)^n
((n√a+n√b)/2)^n
=[a^(1/n)+b^(1/n)]^n/2^n
因为a^(1/n)+b^(1/n)≥2*a^(1/n)*b^(1/n)
所以 [a^(1/n)+b^(1/n)]^n/2^n≥2^n*[a^(1/n)]^n*[b^(1/n)]^n/2^n
=ab
就是,原式极限≥ab
no
((n√a+n√b)/2)^n
=(a^1/n+b^1/2)*(1/2)^n
因为a^1/n+b^1/2为有界函数，而（1/2）^n为无穷小。
所以极限等于零。