a,b属于实数,求证a^2+b^2+1>ab+a

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 06:58:54
a,b属于实数,求证a^2+b^2+1>ab+a
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a,b属于实数,求证a^2+b^2+1>ab+a
a,b属于实数,求证a^2+b^2+1>ab+a

a,b属于实数,求证a^2+b^2+1>ab+a
很简单,上式左边:
a^2+b^2+1=(a^2/2+1/2)+(b^2/2+a^2/2)+1/2
用均值不等式:
a^2/2+1/2>=a
b^2/2+a^2/2>=ab
于是a^2+b^2+1=(a^2/2+1/2)+(b^2/2+a^2/2)+1/2>=a+ab+1/2>ab+a
得证 .

∵a^2+b^2+1-ab-a=(1/4a^2-ab+b^2)+3/4(a^2-4/3a+4/9)+2/3
=(1/2a-b)^2+3/4(a-2/3)^2+2/3
≥2/3 >0
∴a^2+b^2+1>ab+a

a^2+b^2+1-ab-a>0
a^2-(b+1)a+b^2+1>0
最小值为
(4b^2+4-b^2-2b-1)/4
=(3b^2-2b+3)/4
分子最小值为
8/3
其>0
得证