作业帮导数 (14 14:20:15)已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)求证：若函数y=f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都小于1,则-√3≤a≤√3;(2)若x∈[0,1],函数y=f(x)图像上任一点切线的斜率为k,求∣k∣≤1时a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:22:09
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导数 (14 14:20:15)已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)求证：若函数y=f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都小于1,则-√3≤a≤√3;(2)若x∈[0,1],函数y=f(x)图像上任一点切线的斜率为k,求∣k∣≤1时a的取值范围
导数 (14 14:20:15)
已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)求证：若函数y=f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都小于1,则-√3≤a≤√3;
(2)若x∈[0,1],函数y=f(x)图像上任一点切线的斜率为k,求∣k∣≤1时a的取值范围
导数 (14 14:20:15)已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)求证：若函数y=f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都小于1,则-√3≤a≤√3;(2)若x∈[0,1],函数y=f(x)图像上任一点切线的斜率为k,求∣k∣≤1时a的取值范围
已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)求证：若函数y=f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都小于1,则-√3≤a≤√3;
求导,f(x)的导数为-3X^2+2aX
任意不同的两点间连线斜率都小于1即导数恒小于1
即为3X^2-2aX+1>0恒成立
则只需判别式=4a^2-12
（1）[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)＜1
即f'(x)＜1
-3x^2+2ax＜1
-3(x-a/3)^2+a^2/3＜1
∴a^2/3≤1
a^2≤3
-√3≤a≤√3
（2）|-3x^2+2ax|≤1
|-3(x-a/3)^2+a^2/3|≤1
令g(x)=-3x^2+2ax
g(0)=0＜1
...
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（1）[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)＜1
即f'(x)＜1
-3x^2+2ax＜1
-3(x-a/3)^2+a^2/3＜1
∴a^2/3≤1
a^2≤3
-√3≤a≤√3
（2）|-3x^2+2ax|≤1
|-3(x-a/3)^2+a^2/3|≤1
令g(x)=-3x^2+2ax
g(0)=0＜1
g(1)=2a-3
|2a-3|≤1
1≤a≤2
又-√3≤a≤√3
所以，a的取值范围：1≤a≤√3
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2楼的对，1楼的把(1)和（2）联系在一起了，其实是两个题目
1)证明：对函数求导f(x)~=-3x2+2ax=g(x)
该函数图像开口向下，因为f(x)图像上任意不同点连线的斜率都小于1，所以g(x)的顶点的值应小于1.x=-b/2a=a/3 g(x)=a2/3＜1
解得 －√3 ≤a ≤√3
2)由1)问知函数上任意一点的斜率为：k=
-3x2+2ax 则 |-3x2+2ax|≤1 设 F(X)=-3x2+2ax
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1)证明：对函数求导f(x)~=-3x2+2ax=g(x)
该函数图像开口向下，因为f(x)图像上任意不同点连线的斜率都小于1，所以g(x)的顶点的值应小于1.x=-b/2a=a/3 g(x)=a2/3＜1
解得 －√3 ≤a ≤√3
2)由1)问知函数上任意一点的斜率为：k=
-3x2+2ax 则 |-3x2+2ax|≤1 设 F(X)=-3x2+2ax
(1)当对称轴x=a/3<0,即a<0时 只需F(1)≥-1 解得 a不存在
（2）当对称轴0≤ a/3≤1，即 0 ≤a≤3时
只需）1≥F(a/3);F(1)≥-1解得√3 ≥ a≥1
(3) 当对称轴1≤a/3 ,即 a≥3时 只需F(a/3)
≤1 无解 所以 a的范围是a={1，√3}
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