作业帮一道代数式数学题 证明：若当自变量x取任意整数时,二次三项式ax^2+bx+c总取整数值,那么2a,a+b,c都是整数,并且反过来也成立.正过来很好证,反过来咋整啊?那位大侠帮帮,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:23:16
一道代数式数学题 证明：若当自变量x取任意整数时,二次三项式ax^2+bx+c总取整数值,那么2a,a+b,c都是整数,并且反过来也成立.正过来很好证,反过来咋整啊?那位大侠帮帮,
一道代数式数学题
证明：若当自变量x取任意整数时,二次三项式ax^2+bx+c总取整数值,那么2a,a+b,c都是整数,并且反过来也成立.
正过来很好证,反过来咋整啊?
那位大侠帮帮,
一道代数式数学题 证明：若当自变量x取任意整数时,二次三项式ax^2+bx+c总取整数值,那么2a,a+b,c都是整数,并且反过来也成立.正过来很好证,反过来咋整啊?那位大侠帮帮,
证明：设a+b=m,2a=n(m,n都是整数）,所以2b=2m-n
ax^2+bx=(1/2)(nx^2+2mx-nx)=nx(x-1)/2+mx
无论x奇偶性如何,x(x-1)/2一定是整数,所以ax^2+bx为整数,又c为整数,所以ax^2+bx+c必为整数
证毕.
若c不为整数，显然不成立
若2a不为整数，则a不为整数，不成立
若a+b不为整数，则a,b中必有一个不为整数，不成立反过来，如果2a，a+b+c，c都是整数，求证：x为整数时，ax^2+bx+c总取整数值，怎么做？c为整数，所以只需证ax^2+bx为整数即可。 x为奇数时 x为整数，所以只需证ax+b为整数即可。 x为整数，a+b为整数，所以只需证（x-1）a为整数即可。 ...
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若c不为整数，显然不成立
若2a不为整数，则a不为整数，不成立
若a+b不为整数，则a,b中必有一个不为整数，不成立
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我只能说反过来是显然不成立，设a=2 b=3 c=1 ax^2+bx+c=0 则解为x=-0.5 和x=-1显然不是整数
反过来这样考虑：
当2a为整数时，分为两种情况：
1.2a为偶数，那么显然a为一整数，再由a+b为整数知，b也为整数，又c为整数，故当自变量x取 任意整数时，二次三项式ax^2+bx+c总取整数值。
2.2a为奇数时，那么a显然为一整数+0.5的形式，比方说2a=1，那么a=0+0.5；于是再由a+b为 整 数知，b也为一整数+0.5的形式，比方a+b=2，那么b=1+0...
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反过来这样考虑：
当2a为整数时，分为两种情况：
1.2a为偶数，那么显然a为一整数，再由a+b为整数知，b也为整数，又c为整数，故当自变量x取 任意整数时，二次三项式ax^2+bx+c总取整数值。
2.2a为奇数时，那么a显然为一整数+0.5的形式，比方说2a=1，那么a=0+0.5；于是再由a+b为 整 数知，b也为一整数+0.5的形式，比方a+b=2，那么b=1+0.5。
事实上我们可以由1的证明知，把a和b部分的整数部分以及整数c去掉，而只考虑0.5的那部分。于是问题转化为
二次三项式0.5x^2+0.5x当当自变量x取任意整数时，二次三项式0.5x^2+0.5x总取整数值。
再分两种情况，
当x为偶数时，显然x^2和x都为偶数，于是易知0.5x^2+0.5x为整数。
当x为奇数时，显然x^2和x都为奇数，于是（x^2+x）为偶数，易知0.5x^2+0.5x为整数。
综上，命题得证。
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反过来：因为2a、a+b是整数，所以4a+2b是整数，2b也是整数。
当x是偶数时，设X=2P，ax^2+bx+c=4ap^2+2bp+c=整数
当x为奇数时，设X=2p+1，ax^2+bx+c=a(2p+1)^2+b(2p+1)+c=4ap^2+4ap+2bp+a+b+c=整数
因此当2a,a+b,c都是整数，且X为整数时，ax^2+bx+c总取整数值
正面的你会...
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反过来：因为2a、a+b是整数，所以4a+2b是整数，2b也是整数。
当x是偶数时，设X=2P，ax^2+bx+c=4ap^2+2bp+c=整数
当x为奇数时，设X=2p+1，ax^2+bx+c=a(2p+1)^2+b(2p+1)+c=4ap^2+4ap+2bp+a+b+c=整数
因此当2a,a+b,c都是整数，且X为整数时，ax^2+bx+c总取整数值
正面的你会了就不做了
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取x=1时和x=-1时，化简得a+b+c=整数，a-b+c=整数，两式相加，得a+c=整数，带入得c=整数，a-b=整数，把a-b和a+b相加得2a等于整数，因为a+c是整数，c是整数，所以a是整数，所以a+b是整数反过来，如果2a，a+b+c，c都是整数，求证：x为整数时，ax^2+bx+c总取整数值，怎么做？...
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取x=1时和x=-1时，化简得a+b+c=整数，a-b+c=整数，两式相加，得a+c=整数，带入得c=整数，a-b=整数，把a-b和a+b相加得2a等于整数，因为a+c是整数，c是整数，所以a是整数，所以a+b是整数
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