已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根(m∈R),且α+β≠kπ+π/2(k∈Z),求sin²(α+β)+1/2 msin(2α+2β)的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:44:05
已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根(m∈R),且α+β≠kπ+π/2(k∈Z),求sin²(α+β)+1/2 msin(2α+2β)的取值范围
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已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根(m∈R),且α+β≠kπ+π/2(k∈Z),求sin²(α+β)+1/2 msin(2α+2β)的取值范围
已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根(m∈R),且α+β≠kπ+π/2(k∈Z),
求sin²(α+β)+1/2 msin(2α+2β)的取值范围

已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根(m∈R),且α+β≠kπ+π/2(k∈Z),求sin²(α+β)+1/2 msin(2α+2β)的取值范围
tanα+tanβ=5m,
tanαtanβ=-4,
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/[1-tanαtanβ]=5m/5=m,
sin²(α+β)+1/2 msin(2α+2β)=sin(α+β)[sin(α+β)+cos(α+β)*m]
=sin(α+β)[sin(α+β)+cos(α+β)*sin(α+β)/cos(α+β)]
=2sin²(α+β)
=1-cos[2(α+β)]
2(α+β)=2kπ时,最小1-1=0,
2(α+β)=2kπ+π时,最大1-(-1)=2,而α+β≠kπ+π/2,应取开区间,没有最大值,
取值范围为[0,2).

根据题意有:
tana+tanb=5m
tanatanb=-4.
因为:
tan(a+b)
=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
=5m/5=m.
所以:
tan^2(a+b)=sin^2(a+b)/cos^2(a+b)=m^2,即:
sin^2(a+b)=m^2(1-sin^2(a+b))
所以:sin...

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根据题意有:
tana+tanb=5m
tanatanb=-4.
因为:
tan(a+b)
=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
=5m/5=m.
所以:
tan^2(a+b)=sin^2(a+b)/cos^2(a+b)=m^2,即:
sin^2(a+b)=m^2(1-sin^2(a+b))
所以:sin^2(a+b)=m^2/(1+m^2).
利用万能公式有:
sin(2a+2b)=sin2(a+b)=2tan(a+b)/(1+tan^2(a+b))=2m/(1+m^2)
所以:
f=sin²(α+β)+1/2 msin(2α+2β)
=m^2/(1+m^2)+m^2/(1+m^2)
=2m^2/(1+m^2)
所以fmin=0,fmax=2,即取值范围为[0,2].

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