如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证:BC*BD=r*ED;(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/01 07:52:47
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证:BC*BD=r*ED;(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.
(1)求证:BC*BD=r*ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.(1)求证:BC*BD=r*ED;(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
(1)、取AB中点O,三角形ABC是RT三角形,AB是斜边,O是外接圆心,
连结CO,
BO=CO,
〈BCO=〈OBC,
BC是〈DBE平分线,
〈DBC=〈CBA,
〈OCB=〈DBC,
OC//DB,(内错角相等),
OC/BD=CE/DE,
OC=r,
BD*CE=DE*r,(1)
作CF⊥BE,垂足F,
F、B、D、C四点共圆满,
〈FCE=〈DBA,(外角等于内对角),
CD=CF,(角平分线与角两边等距),
RT△BDC≌RT△ECF,
CE=BC,
代入(1)式,
∴BC*BD=r*ED,证毕.
(2)、BD=3,DE=4,
根据勾股定理,BE=5,
设CE=x,BC=CE=x,
BD^2+CD^2=BC^2,
3^2+(4-x)^2=x^2,
x=25/8,
CE=25/8,
由前所述,OC//BD,BD⊥DE,故OC⊥DE,
CE是圆O切线,
CE^2=AE*BE,(切割线定理),
AE=(25/8)^2/5=125/64.
∴AE=125/64.