过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 00:05:54
过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
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过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.

过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
由题知,OA.OB均存在斜率.设OA方程为y=kx,则OB为y=-1/kx.联立y=kx和y=x^2,得A(k,k^2).联立y=-1/kx和y=x^2,得B(-1/k,1/k^2).所以可求AB斜率为(k^2-1)/k,方程为y=(k^2-1)/kx+1,则OP斜率为-k/(k^2-1),方程为y=-k/(k^2-1)x.联立AB和OP的方程即为P的坐标.
y=-k/(k^2-1)x(1),y-1=(k^2-1)/kx(2).将(1)*(2),得y(y-1)=-x^2,即P的方程为x^2+y^2-y=0
参考:
连接AB
做OH⊥AB
△AOH的外接圆⊙O1
OH⊥AB =
⊙O1的直径为OA
同理
△BOH的外接圆⊙O2的直径为OB
所以H点为两圆的另一个交点C
设A(X1,Y1)B(X2,Y2)
相互垂直=
X1*X2+Y1*Y2=0
Y=X2
=
1+X1*X2=0
X1+X2=-1
直线AB:
Y-Y1=(Y1-Y2)/(X1-X2)*(X-X1)
Y=(X1+X2)X-X1X2
Y=(X1+X2)X+1
直线OH:
Y=-1/(X1+X2)*X
连立
得(设t=X1+X2)
X(t+1/t)=-1 ①
而Y=-X/t
t=-X/Y
代入①
X(X/Y+Y/X)=1
X^2+Y^2=Y

过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程。
另一方法：
解析：设A(x1,x1^2)，B(x2,x2^2)
∵OA⊥OB
向量OA•向量OB=x1x2+(x1x2)^2=0，∴x1x2=-1
AB方程：y-x1^2=(x1+x2)(x-x1)==> y-x1^2=(x1+x2)...

全部展开

过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，求动点P的轨迹方程。
另一方法：
解析：设A(x1,x1^2)，B(x2,x2^2)
∵OA⊥OB
向量OA•向量OB=x1x2+(x1x2)^2=0，∴x1x2=-1
AB方程：y-x1^2=(x1+x2)(x-x1)==> y-x1^2=(x1+x2)x-x1^2-x1x2==>y=(x1+x2)x+1
又OP⊥AB交AB于P
∴OP方程：y=-x/(x1+x2)==>x1+x2=-x/y
代入AB方程得x^2+y^2-y=0==> x^2+(y-1/2)^2=1/4
∴动点P的轨迹为圆，方程x^2+(y-1/2)^2=1/4

收起

过抛物线Y方=6X的顶点作互相垂直的两条直线,交抛物线于AB两点,求线段AB中点的轨迹方程? 过抛物线y²=6x的顶点做互相垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB中点的轨迹方程 已知M(m,n)为抛物线Y^2=2X上的一个定点,过M做抛物线两条互相垂直的弦MP,MQ,直线PQ必过定点T,则点T坐标为(____) 过抛物线y²=6x的顶点作互相垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB中点的轨迹方程. 过抛物线y^2=6x的顶点作相互垂直的两条直线,交抛物线于A,B两点,求AB中点的轨迹方程 过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB .过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB 过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB （1）求 过抛物线y=x^2的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程. 过抛物线y^2=2x的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB.求中点的轨迹方程,求证直线AB过顶点 过抛物线y^2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA.OB,求AB中点P的轨迹方程 过抛物线y^=2px的焦点F,作互相垂直的两条焦点弦AB和CD,求AB+CD的最小值 过抛物线y^2=4ax(a>0)的焦点F,作互相垂直的两条焦点弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最大值 过抛物线 y^2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA.OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹方程 3.过抛物线y=x^的顶点作互相垂直的两弦OA和OB.(1)求证直线AB必通过一个定点;(2)以OA,OB为直径分别作两圆,求两圆另一个交点的轨迹 过抛物线顶点任做互相垂直的两弦,交此抛物线于两点,求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线 若过两抛物线y=x^2-2x+2 和 y=-x^2+ax+b的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线y=-x^2+ax+b过定点Q,并求出定点Q 的坐标 过抛物线y=x2的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB如何证明直线AB过定点 一道数学的求轨迹方程过抛物线y^2=2pX (p>0) 的顶点O 任作互相垂直的两弦OA 、OB 交抛物线于A 、 B两点,求AB中点P的轨迹 过抛物线y^2=8x的焦点F作互相垂直的两弦AB和CD,试求AB+CD的绝对值的最小值