常用的统计量有哪些

常用的统计量有哪些
常用的统计量有哪些

常用的统计量有哪些
平均数,中位数,众数,方差,标准差
常用统计量
样本矩
　　设x1,x2,…,xn是一个大小为n的样本,对自然数 k,分别称 为k阶样本原 统计量
点矩和k阶样本中心矩, 统称为样本矩.许多最常用的统计量,都可由样本矩构造.例如,样本均值（即α1）和样本方差 是常用的两个统计量,前者反映总体中心位置的信息,后者反映总体分散情况.还有其他常用的统计量,如样本标准差,样本变异系数S/塣,样本偏度,样本峰度等都是样本矩的函数.若(x1,Y1),(x2,Y2),…,(xn,Yn)是从二维总体(x,Y)抽出的简单样本,则样本协方差·及样本相关系数 也是常用的统计量,r可用于推断x和Y的相关性.
次序统计量
　　把样本X1,x2,…,xn由小到大排列,得到,称之为样本x1,x2,… 统计量
,xn的次序统计量.其中最小次序统计量 x(1)最大次序统计量x(n)称为极值,在那些如年枯水量、年最大地震级数、材料的断裂强度等的统计问题中很有用.还有一些由次序统计量派生出来的有用的统计量,如：样本中位数 是总体分布中心位置的一种度量,若样本大小 n为奇数,若n为偶数,它容易计算且有良好的稳健性.样本p分位数Zp(0U统计量
　　这是W.霍夫丁于1948年引进的,它在非参数统计中有广泛的应用.其定义是:设x1,x2,…,xn,为简单样本,m为不超过n的自然数,为m元对称函数,则称 为样本x1,x2,…,xn的以为核的U统计量.样本均值和样本方差都是它的特例 统计量
.从霍夫丁开始,这种统计量的大样本性质得到了深入的研究,主要应用于构造非参数性的量的一致最小方差无偏估计（见点估计）,并在这种估计的基础上检验非参数性总体中的有关假设.
秩统计量
　　把样本X1,X2,…,Xn 按大小排列为,若 则称Ri为xi的秩,全部n个秩R1,R2,…,Rn构成秩统计量,它的取值总是1,2,…,n的某个排列.秩统计量是非参数统计的一个主要工具 统计量
. 　　还有一些统计量是因其与一定的统计方法的联系而引进的.如假设检验中的似然比原则所导致的似然比统计量,K.皮尔森的拟合优度（见假设检验）准则所导致的ⅹ统计量,线性统计模型中的最小二乘法所导致的一系列线性与二次型统计量,等等.
编辑本段充分性与完全性
　　统计量是由样本加工而成的, 在用统计量代替样本作统计推断时,样本中所 统计量
含的信息可能有所损失,如果在将样本加工为统计量时,信息毫无损失,则称此统计量为充分统计量.例如,从一大批产品中依次抽出n个,若第i次抽出的是合格品,则xi=0,否则xi=1(i=1,2,…,n).总体分布取决于整批产品的废品率p,可以证明:统计量,即样本中的废品个数,包含了(x1,x2,…,xn)中有关p的全部信息,是一个充分统计量.若取m子分解定理.这个定理适用面广且应用方便,利用它可以验证很多常见统计量的充分性.例如,若正态总体有已知方差,则样本均值塣是充分统计量.若正态总体的均值、方差都未知,则样本均值和样本方差S合起来构成充分统计量(塣,S).一个统计量是否充分,与总体分布有密切关系. 　　将样本加工成统计量要求越简单越好.简单的程度的大小,主要用统 统计量
计量的维数来衡量.简单地讲,若统计量T2是由统计量T1加工而来(即T2是T1的函数),则T2比T1简单.在此意义上,最简单的充分统计量叫极小充分统计量.这是E.L.莱曼和H.谢菲于1950年提出的.前例中的充分统计量都有极小性.在任何情况下,样本x1,x2,…,xn本身就是一个充分统计量,但一般不是极小的. 　　关于统计量的另一个重要的基本概念是完全性.设T为一统计量,θ为总体分布参数,若对θ的任意函数g(θ),基于T的无偏估计至多只有一个（以概率1相等的两个估计量视为相同）,则称T为完全的.
编辑本段抽样分布
　　统计量的分布叫抽样分布.它与样本分布不同,后者是指样本x1,x2,…,xn的联合分布. 　　统计量的性质以及使用某一统计量作推断的优良性,取决于其分布. 统计量
所以抽样分布的研究是数理统计中的重要课题.寻找统计量的精确的抽样分布,属于所谓的小样本理论（见大样本统计）的范围,但是只在总体分布为正态时取得比较系统的结果.对一维正态总体,有三个重要的抽样分布,即ⅹ分布、t分布和F分布. 　　ⅹ分布 设随机变量x1,x2,…,xn是相互独立且服从标准正态分布N(0, 统计量
1),则随机变量的分布称为自由度为n的ⅹ分布(其密度函数及下文的t分布、F分布的密度函数表达式均见概率分布).这个分布是 F.赫尔梅特于1875年在研究正态总体的样本方差时得到的.若x1,x2,…,xn是抽自正态总体N(μ,σ)的简单样本,则变量服从自由度为n-1的ⅹ分布.若x1,x2,…,xn服从的不是标准正态分布,而依次是正态分布N(μi,1)(i=1,2,…,n),则的分布称为非中心ⅹ分布,称为非中心参数. 当δ＝0时即前面所定义的ⅹ分布.为此,有时也称它为中心ⅹ分布.中心与非中心的ⅹ分布在正态线性模型误差方差的估计理论中,在正态总 统计量
体方差的检验问题中(见假设检验),以及一般地在正态变量的二次型理论中都有重要的应用. 　　t分布 设随机变量ξ,η独立,且分别服从正态分布N(δ,1)及自由度n的中心ⅹ分布,则变量的分布称为自由度n、非中心参数δ的非中心t分布；当δ＝0时称为中心t分布.若x1,x2,…,xn是从正态总体N（μ ,σ）中抽出的简单样本,以塣记样本均值,以记样本方差,则服从自由度n-1的t分布.这个结果是英国统计学家W.S.戈塞特(又译哥色特,笔名“学生”)于 1908年提出的.t分布在有关 统计量
正态总体均值的估计和检验问题中,在正态线性统计模型对可估函数的推断问题中有重要意义,t分布的出现开始了数理统计的小样本理论的发展. 　　F分布 是 R.A.费希尔在20世纪20年代提出的.设随机变量ξ,η独立,ξ服从自由度m、非中心参数δ的非中心ⅹ分布,η服从自由度n的中心ⅹ分布,则的分布称为自由度(m,n)、非中心参数δ的非中心F分布,当δ=0时称为中心F 分布.若x1,x2,…,xm和Y1,Y2,…,Yn分别是从正态总体N(μ 统计量
,σ)和N(v,σ),中抽出的独立简单样本,以S娝和S娤分别记为诸xi和诸Yi的样本方差,则方差比统计量S娝/S娤服从自由度(m-1,n-1)的中心F分布.中心和非中心的 F分布在方差分析理论中有重要应用. 　　多维正态总体的重要的抽样分布有维夏特分布和霍特林的T分布（见多元统计分析）. 　　一个统计量若服从某分布,常以该分布的名字命名该统计量,如ⅹ统计量、F统计量、T统计量等. 　　由于寻找精确的抽样分布有困难,统计学者转而研究当样本大小 n→∞时统计量的渐 统计量
近分布(即极限分布),这种研究是数理统计大样本理论的基础性工作.已经有很多重要的统计方法,就是基于这种工作而提出的.像K.皮尔森关于拟合优度统计量的极限分布是分布的著名结果(1900)就是一个有代表性的例子. 　　参考书目 复旦大学编：《概率论》（第2册,数理统计）,人民教育出版 统计量
社,北京,1979. 费史著,王福保译：《概率论及数理统计》,上海科学技术出版社,上海,1962.(M.Fisz,Wahrscheinlichkei-tsrechnung und MatheMatische Statistik,VEB Deu-tscher Verlag der Wissenschaften,Berlin, 1958.) 陈希孺著:《数理统计引论》,科学出版社,北京,1981.