已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:03:16
已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b
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已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b
已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b<3

已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b
2^a+2^b=2^(a+b)
又因为a+b=1
所以2^a+2^b=2^(a+b)=2^1=2<3(得证)

把b=1-a代入：
2^a+2^b
=2^a+2^(1-a)
=2^a+2/(2^a)
这是一个关于a的函数
也可以看成关于2^a的函数，2^a取值范围为(1,2)
这个函数的极值点为2^a=根号2 也就是a=1/2时取到
所以原式的取值范围为(2倍的根号2,3)，也就是小于3

∵a+b=1
∴2^a×2^b=2^(a+b)=2^1=2
3=2+1=2^1+1=2^(a+b)+1
3-(2^a+2^b)
=2^(a+b)+1-2^a-2^b
=2^a×2^b-2^a-(2^b-1)
=2^a(a^b-1)-(2^b-1)
=(2^a-1)(2^b-1)
∵0∴2^a>2^0=1
2^B>2^0=1
∴2^a-1>0
2^b-1>0
∴3-(2^a+2^b)=(2^a-1)(2^b-1)>0
∴3>2^a+2^b
即2^a+2^b<3

很简单，令函数y=2^x+2^1-x,应用均值不等式：
有2^x+2^1-x>=2*[2^(x+1-x)]^0.5=2*2^0.5,且当x=0.5时成立，用求导可发现这个函数在0.5到1之间递增，所以在1处取得最大值，带入等于3，则证明了

因为b=1-a,所以2^a+2^b=2^a+2^(1-a)。
令2^a=t,t属于（1，2）。
所以原式=t+2/t,而函数f(t)=t+2/t在（1，√2）上递减，在（√2，2）上递增，所以f(t)最大在两端点取到。
又因为f(1)=3,f(2)=3.且f(t)取不到两个端点的值，所以恒小于3

已知ab为正实数,a+b=1,求证2^a+2^b 已知a,b为正实数,求证a^ab^b>=a^bb^a 已知a,b都是正实数,求证a^2+b^2≥ab+a-b-1 已知a,b为正实数,且a+b=1,求证3^a+3^b 已知a,b均为正实数,且a²+b²=7ab,求证:lga+b/3=1/2(lga+lgb) 求大神~~ a,b为正实数 求证 a平方+b平方大于等于ab+a+b+1 已知a,b为正实数,2a+ab+a=30求函数y=1/ab的最小值 已知abc都是正实数,求证：bc/a+ca/b+ab/c=>a+b+cRT 已知a,b 都是正实数 ,2分之a+b大于等于 根号ab吗?求证 已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=1/ab的最小值 已知a,b为正实数,求证：（a+b）×（1/a+1/b)≥4 已知a b为正实数,求证（a+1/b)(b+1/b)≥4 已知a b c均为正实数且ab+ac+bc=1,求证：(a+b+c)的平方大于等于3 已知a、b是正实数,且a+b=4,求证：（1）ab≤4 （2）a平方+b平方≥8 已知ab为正实数且a+b=2则1／1+a+1／1+b最小值? 已知ab为正实数且1/a+1/b=1,求2a+b的最小值 已知a,b为正实数,a+b=1,x1,x2为正实数,求证（ax1+bx2）(bx1+ax2)大于等于x1x2 请运用ab小于等于(a+b/2)^这一定理求解下面两道题:1.已知a,b,c属于正实数,求证bc/a+ac/b+ab/c大于等于a+b+c.2.已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9.