如何用正弦定理证明余弦定理（条件是,知道三角形的两边及夹角,求用正弦定理证明余弦定理）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 05:24:47
如何用正弦定理证明余弦定理（条件是,知道三角形的两边及夹角,求用正弦定理证明余弦定理）
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如何用正弦定理证明余弦定理（条件是,知道三角形的两边及夹角,求用正弦定理证明余弦定理）
由正弦定理：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R,
得：a/（2R）＝sinA,b/（2R）＝sinB,c/（2R）＝sinC.
进而得：（a^2＋b^2－2ab×cosC）/（2R）^2＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcosC
＝（sinA）^2＋（sinB）^2－2sinAsinBcos（180°－A－B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcos（A＋B）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinB（cosAcosB－sinAsinB）
＝（sinA）^2＋（sinB）^2＋2sinAsinBcosAcosB－2（sinAsinB）^2
＝［（sinA）^2－（sinAsinB）^2］＋［（sinB）^2－（sinAsinB）^2］＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinA）^2［1－（sinB）^2］＋（sinB）^2［1－（sinA）^2］＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinAcosB）^2＋（cosAsinB）^2＋2sinAcosBcosAsinB
＝（sinAcosB＋cosAsinB）^2
＝［sin（A＋B）］^2
＝［sin（180°－C）］^2
＝（sinC）^2
＝c^2/（2R）^2
两边同时乘以（2R）^2,得：a^2＋b^2－2ab×cosC＝c^2

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