已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1.)求证:f(x)是奇函数;(2.)若f(-3)=a表示f(12).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 03:30:20
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已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1.)求证:f(x)是奇函数;(2.)若f(-3)=a表示f(12).
已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1.)求证:f(x)是奇函数;
(2.)若f(-3)=a表示f(12).
已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1.)求证:f(x)是奇函数;(2.)若f(-3)=a表示f(12).
令y=-x
f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)
f(0+0)=f(0)+f(0)=0
故f(x)+f(-x)=0 从而f(x)=-f(-x) 奇函数得证
f(3)=-f(-3)=-a
f(6)=f(3)+f(3)=-2a
f(12)=f(6)+f(6)=-4a
1、令x=y=0,则有f(0)=2f(0)
所以f(0)=0
令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(-x)
所以f(x)是奇函数
2、f(12)=f(6)+f(6)=2f(6)=2(f(3)+f(3))=4f(3)=-4f(-3)=-4a
f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x) f(0+0)=f(0)+f(0)=0
故f(x)+f(-x)=0 从而f(x)=-f(-x) 奇函数得证
f(3)=-f(-3)=-a
f(12)=f6+f6
f6=f3+f3=-2a
故f(12)=-4a
ifx=0。y=0,thenf(0+0)=f(o)+f(o),sof(0)=0
wheny=-x,thenf(0)=f(x)+f(-x)=0,sof(x)=-f(-x)
f(12)=2f(6)=4f(3)
sof(12)=-4a