设a>=b>=0 求2a+ 根号{1/(2a-b)b } 最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 04:47:22
设a>=b>=0 求2a+ 根号{1/(2a-b)b } 最小值
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设a>=b>=0 求2a+ 根号{1/(2a-b)b } 最小值
设a>=b>=0 求2a+ 根号{1/(2a-b)b } 最小值

设a>=b>=0 求2a+ 根号{1/(2a-b)b } 最小值
依均值不等式得,
√[1/(2a-b)b]≥1/a.
∴2a+√[1/(2a-b)b]
≥2a+(1/a)
≥2√(2a·1/a)
=2√2.
故所求最小值为:2√2.
此时,2a=1/a,2a-b=b, 且a≥b>0,
a=b=√2/2.

因为a≥b≥0
所以√[b(2a-b)]≤[b+(2a-b)]/2=a (当且仅当b=2a-b,即a=b时取等号)
所以1/√[b(2a-b)]≥1/a
于是2a+1/√[b(2a-b)]≥2a+1/a≥2√(2a×1/a)=2√ 2 (当且仅当2a=1/a,即a=√2/2时取等号)
所以2a+1/√[b(2a-b)]的最小值为2√ 2,此时a=b=√ 2/2