计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^20)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 08:55:21
计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^20)
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计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^20)
计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^20)

计算二重积分I=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中D=((x,y)|x^2+Y^20)
假设a>0,
利用极坐标公式
令x=rcost
y=rsint
则D={(r,t)| 0≤r≤a,-π/2≤t≤π/2}
dxdy=rdrdt
于是原式=∫∫D (r²+3rsint)rdrdt
=∫【-π/2,π/2】dt ∫【0,a】(r³+3r²sint)dr
=∫【-π/2,π/2】(0.25a^4+a³ sint) dt
=0.25πa^4

用代换法
令x=rcosα,y=rsinα,其中r∈[0,a),α∈[0,2π),且|J|=r。
原积分I=∫[0,2π]∫[0,a](r^2+3rsinα)rdrdα
=∫[0,2π](a^4/4-a^3*sinα)dα
=πa^4/2