作业帮旋转液体抛物面公式推导tgθ=F向心/mgF向心=mω²x为什么y=ω²x²/2g方程中分母的2是怎么得到的?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 07:44:52
旋转液体抛物面公式推导tgθ=F向心/mgF向心=mω²x为什么y=ω²x²/2g方程中分母的2是怎么得到的?
旋转液体抛物面公式推导
tgθ=F向心/mg
F向心=mω²x
为什么y=ω²x²/2g
方程中分母的2是怎么得到的?
旋转液体抛物面公式推导tgθ=F向心/mgF向心=mω²x为什么y=ω²x²/2g方程中分母的2是怎么得到的?
盛有液体的开口圆桶,设圆桶以定转速绕其中心铅垂改旋转,则由于液体粘性的作用,与容器壁接触的液体层,首先被带动而旋转,并向中心发展,使所有的液体质点都绕该轴旋转.待运动稳定厉,各质点都具有相同角速度,液面形成一个漏斗形的旋转面.将坐标系取在运动着的容器上,原点取在旋转轴与自由表而交点上,z轴垂直向上.根据达朗伯原形,作用在液体质点上的质量力除了重力以外,还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以向心速度,方向与向心加速度相反的离心惯性力.对于等角速圆周运动来说,液体中任一质点m(x,y,z)处的离心惯性力F=mrω²
式中M为质点质量,ω为角速度即为圆桶的转速,r为该点所在位置的半径,r=√(x²+y²).单位质量离心力F/m在x轴、y轴方向的分量为
X=rω²cosα=xω²,Y=rω²sinα=yω²
沿远方向的质量力分量为 Z=-g
下面求流体静压力分布规律和等压面方程.
将单位质量力带入流体平衡微分方程式的全微分表达式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)
积分有 p=ρ(1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz)+C 或 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
根据边界条件,当r=0,z=0时,p=p0,
积分常数C=p0于是得 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
这就是等角度旋转容器中液体游压力分布公式.公式说明；在同一高度上,液体静压力
沿径向按半径二次方增长.
将单位质量力带入等压面微分方程式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)=0
积分有1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz=0 或 1/2r²ω²-gz=C
这说明,等压面条一按绕z轴的旋转抛物面.在自由表面上当r=0,z＝0可得积分
常数C=0,故自由液面方程为z=ω²r²/2g
楼主所说的2就是此处的2,通过等压面微分方程积分得到.
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