作业帮请教一道数论竞赛题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:25:36
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请教一道数论竞赛题
请教一道数论竞赛题
请教一道数论竞赛题
结论是都可以.
为叙述简便, 如果一个数列满足任两数的平均不在此两数之间出现, 称其为好数列.
容易知道, 好数列具有如下简单性质:
①一个好数列各项都乘以2以后仍是好数列;
②一个好数列各项都减去1以后仍是好数列;
③一个好数列去掉若干项以后仍是好数列.
进行如下的归纳构造, 将1, 2,..., 2^n排成一列, 使其为好数列.
首先, n = 1时: 2, 1是好数列.
由①, 数列4, 2也是好数列, 进而由②, 3, 1也是好数列.
将二者相连, 得到4, 2, 3, 1也是好数列.
(因为数列的前半只有偶数, 后半只有奇数, 而偶数与奇数的平均不为整数, 不在数列中.
所以只需考虑前半或后半内的两数平均, 但前半和后半都是好数列).
就是n = 2时所要的好数列.
由①, 数列8, 4, 6, 2也是好数列, 进而由②, 7, 3, 5, 1也是好数列.
将二者相连, 得到8, 4, 6, 2, 7, 3, 5, 1也是好数列.
依此类推, 对任意正整数n, 可将1, 2,..., 2^n排成好数列.
对任意正整数m, 存在正整数n使2^n ≥ m.
将1, 2,..., 2^n排成好数列.
由③, 去掉其中大于m的项后仍是好数列.
因此1, 2,..., m可排成好数列.
对m = 10, 100, 2014应用即得结论.