作业帮已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:03:02
已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
a^4＋b^4≥2a²b² 当且仅当a=b时取等号；
c^4＋d^4≥2c²d² 当且仅当c=d时取等号；
则：a^4＋b^4＋c^4＋d^4≥2a²b²＋2c²d²
又：a²b²＋c²d²≥2abcd 当且仅当ab=cd时取等号,则：
a^4＋b^4＋c^4＋d^4≥4abcd 当且仅当a=b且c=d且ab=cd即a=b=c=d时取等号.
a^4+b^4 >= 2a^2b^2 等号仅在a=b时成立。
c^4+d^4 >= 2c^2d^2 等号仅在c=d时成立。
===>
a^4+b^4+c^4+d^4 >= 2a^2b^2 + 2c^2d^2 = 2((ab)^2+(cd)^2)>= 2 * 2(ab)(cd)= 4abcd 最后一个不等式，等号仅在ab=cd时成立。
所以 如果a^4+b^4...
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a^4+b^4 >= 2a^2b^2 等号仅在a=b时成立。
c^4+d^4 >= 2c^2d^2 等号仅在c=d时成立。
===>
a^4+b^4+c^4+d^4 >= 2a^2b^2 + 2c^2d^2 = 2((ab)^2+(cd)^2)>= 2 * 2(ab)(cd)= 4abcd 最后一个不等式，等号仅在ab=cd时成立。
所以 如果a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd， 则上面的不等式都必须是等式，即有：
a=b， c=d， ab=cd ===》 a=b=c=d
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楼上两位，从哪抄来的答案。误人子弟！
为什么题目给正整数，是要求你们在计算基本不等式的时候用的，应该应用在最后一个基本不等式，两位这个说明呢！
已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
证明：∵a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(a²b²+c²d²)
=(a²-b²)²...
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已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
证明：∵a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(a²b²+c²d²)
=(a²-b²)²+(c²-d²)²+ 2(ab-cd)²+4abcd=4abcd
∴有(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²=0
故必有 a²-b²=0.......①；c²-d²=0..........②；ab-cd=0...........③.
由①得 (a-b)²+2ab=0...........④；由②得 (c-d)²+2cd=0.......⑤
由③可知：2ab=2cd，故由④⑤得 (a-b)²=(c-d)²，即有(a-b)²-(c-d)²=(a-b+c-d)(a-b-c+d)=0
故有 a-b+c-d=0和a-b-c+d=0；两式相加得2a-2b=2(a-b)=0，故a=b；
两式相减得 2c-2d=2(c-d)=0，故c=d；代入③式得a²-c²=0，即有a=c.
故a=b=c=d得证。.
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