作业帮已知n是正整数,证明1×2×3×.×n与2^(n-1)的大小关系（数学归纳法）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:16:29
已知n是正整数,证明1×2×3×.×n与2^(n-1)的大小关系（数学归纳法）
已知n是正整数,证明1×2×3×.×n与2^(n-1)的大小关系（数学归纳法）
已知n是正整数,证明1×2×3×.×n与2^(n-1)的大小关系（数学归纳法）
设a=1×2×3×.×n,b=2^(n-1)
当n=1时 a=1,b=1 a=b
当n=2时 a=2,b=2 a=b
当n=3时 a=6,b=4 a>b
当n=4时 a=24,b=8 a>b
猜想 当n>2 时 a>b
假设 当n=k 时 a>b
1×2×3×.×k>2^(k-1)
当n=k+1 时
1×2×3×.×k×（k+1）>(k+1) ×2^(k-1)
因为k+1=n>2 所以 (k+1) ×2^(k-1)>2×2^(k-1)=2^k
所以1×2×3×.×k×（k+1） >2^k
即 当n=k+1时 a>b
综上所述 当n=1,2时 a=b ,当n>2 时 a>b 得证
当n=1,2时 1×2×3×.....×n=2^(n-1)
当n=3时1×2×3=6>2^(3-1)=4
令n=k>=3是
1×2×3×.....k>2^(k-1)
1×2×3×.....k×(k+1)>2^(k-1)×(k+1)>2^(k-1)×2=2^(K+1-1)
所以当n=1,2时 1×2×3×.....×n=2^(n-1)
n>=3时1×2×3×.....×n>2^(n-1)
假设1*2*~~*n大于等于2^(n-1)
当n=1时，1大于等于1，成立。
假设n=k时也成立，1*2*~~*k大于等于2^(k-1)
则n=k+1时左边等于1*2*~~*k*（k+1）右边2^k=2*2^（k-1），k+1大于等于2
左边2个数大于等于右边2个数且都为正数，则他们的乘积也大于等于右边
综上所述，假设成立...
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假设1*2*~~*n大于等于2^(n-1)
当n=1时，1大于等于1，成立。
假设n=k时也成立，1*2*~~*k大于等于2^(k-1)
则n=k+1时左边等于1*2*~~*k*（k+1）右边2^k=2*2^（k-1），k+1大于等于2
左边2个数大于等于右边2个数且都为正数，则他们的乘积也大于等于右边
综上所述，假设成立
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